Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30720 / 14336
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
E157.500000°		 ← 1 133.14 m → N 21.943045°
E157.510986°		 →
↑
1 133.15 m
↓
↑
1 133.15 m
↓
N 21.932855°
E157.500000°		 ← 1 133.22 m →
1 284 057 m²		 N 21.932855°
E157.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937515258789062 y=0.437515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937515258789062 × 215)
    floor (0.937515258789062 × 32768)
    floor (30720.5)     		tx = 30720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437515258789062 × 215)
    floor (0.437515258789062 × 32768)
    floor (14336.5)     		ty = 14336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30720 / 14336 ti = "15/30720/14336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30720/14336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30720 ÷ 215
    30720 ÷ 32768     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14336 ÷ 215
    14336 ÷ 32768     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30720 KachelY 14336 2.74889357 0.38297839 157.500000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 30721 KachelY 14336 2.74908532 0.38297839 157.510986 21.943045
    Unten links KachelX 30720 KachelY + 1 14337 2.74889357 0.38280053 157.500000 21.932855
    Unten rechts KachelX + 1 30721 KachelY + 1 14337 2.74908532 0.38280053 157.510986 21.932855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.38280053) × R
    0.000177859999999974 × 6371000     		dl = 1133.14605999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.38280053) × R
    0.000177859999999974 × 6371000     		dr = 1133.14605999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.74908532) × cos(0.38297839) × R
    0.000191749999999935 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 1133.13853811973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.74908532) × cos(0.38280053) × R
    0.000191749999999935 × 0.92762222129089 × 6371000     		du = 1133.21971470075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.38280053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.92762222129089)×R²
    abs(2.74908532-2.74889357)×6.64488972703658e-05×R²
    0.000191749999999935×6.64488972703658e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.64488972703658e-05×40589641000000     		ar = 1284057.46575079m²