Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30720 / 47105
↖ ↑ ↗
← S 61.609009°
W 11.250000°		 ← 290.42 m → S 61.609009°
W 11.244507°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
S 61.611620°
W 11.250000°		 ← 290.40 m →
84 332 m²		 S 61.611620°
W 11.244507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468757629394531 y=0.718772888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468757629394531 × 216)
    floor (0.468757629394531 × 65536)
    floor (30720.5)     		tx = 30720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718772888183594 × 216)
    floor (0.718772888183594 × 65536)
    floor (47105.5)     		ty = 47105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30720 / 47105 ti = "16/30720/47105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30720/47105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30720 ÷ 216
    30720 ÷ 65536     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47105 ÷ 216
    47105 ÷ 65536     		y = 0.718765258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718765258789062 × 2 - 1) × π
    -0.437530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37454265970549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37454265970549))-π/2
    2×atan(0.25295525598597)-π/2
    2×0.247758140641033-π/2
    0.495516281282065-1.57079632675     		φ = -1.07528005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07528005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.609009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30720 KachelY 47105 -0.19634954 -1.07528005 -11.250000 -61.609009
    Oben rechts KachelX + 1 30721 KachelY 47105 -0.19625367 -1.07528005 -11.244507 -61.609009
    Unten links KachelX 30720 KachelY + 1 47106 -0.19634954 -1.07532563 -11.250000 -61.611620
    Unten rechts KachelX + 1 30721 KachelY + 1 47106 -0.19625367 -1.07532563 -11.244507 -61.611620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07528005--1.07532563) × R
    4.55800000001005e-05 × 6371000     		dl = 290.390180000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07528005--1.07532563) × R
    4.55800000001005e-05 × 6371000     		dr = 290.390180000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19625367) × cos(-1.07528005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475485895368015 × 6371000     		do = 290.420969698277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19625367) × cos(-1.07532563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475445797084055 × 6371000     		du = 290.396478156836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07528005)-sin(-1.07532563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475485895368015-0.475445797084055)×R²
    abs(-0.19625367--0.19634954)×4.0098283959733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0098283959733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0098283959733e-05×40589641000000     		ar = 84331.8416298671m²