Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30720 / 51200
↖ ↑ ↗
← S 70.612614°
W 11.250000°		 ← 202.75 m → S 70.612614°
W 11.244507°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
S 70.614438°
W 11.250000°		 ← 202.73 m →
41 114 m²		 S 70.614438°
W 11.244507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468757629394531 y=0.781257629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468757629394531 × 216)
    floor (0.468757629394531 × 65536)
    floor (30720.5)     		tx = 30720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781257629394531 × 216)
    floor (0.781257629394531 × 65536)
    floor (51200.5)     		ty = 51200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30720 / 51200 ti = "16/30720/51200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30720/51200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30720 ÷ 216
    30720 ÷ 65536     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51200 ÷ 216
    51200 ÷ 65536     		y = 0.78125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78125 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76714586759375))-π/2
    2×atan(0.170819836161558)-π/2
    2×0.1691868574588-π/2
    0.3383737149176-1.57079632675     		φ = -1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30720 KachelY 51200 -0.19634954 -1.23242261 -11.250000 -70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 30721 KachelY 51200 -0.19625367 -1.23242261 -11.244507 -70.612614
    Unten links KachelX 30720 KachelY + 1 51201 -0.19634954 -1.23245444 -11.250000 -70.614438
    Unten rechts KachelX + 1 30721 KachelY + 1 51201 -0.19625367 -1.23245444 -11.244507 -70.614438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23242261--1.23245444) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23242261--1.23245444) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19625367) × cos(-1.23242261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 202.753117079936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19625367) × cos(-1.23245444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331923440462525 × 6371000     		du = 202.734778010829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23242261)-sin(-1.23245444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.331923440462525)×R²
    abs(-0.19625367--0.19634954)×3.00252722919003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00252722919003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00252722919003e-05×40589641000000     		ar = 41114.2281901629m²