Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30720 / 6144
↖ ↑ ↗
← N 74.019543°
E157.500000°		 ← 336.33 m → N 74.019543°
E157.510986°		 →
↑
336.33 m
↓
↑
336.33 m
↓
N 74.016519°
E157.500000°		 ← 336.39 m →
113 126 m²		 N 74.016519°
E157.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937515258789062 y=0.187515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937515258789062 × 215)
    floor (0.937515258789062 × 32768)
    floor (30720.5)     		tx = 30720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187515258789062 × 215)
    floor (0.187515258789062 × 32768)
    floor (6144.5)     		ty = 6144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30720 / 6144 ti = "15/30720/6144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30720/6144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30720 ÷ 215
    30720 ÷ 32768     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6144 ÷ 215
    6144 ÷ 32768     		y = 0.1875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1875 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9634954084375))-π/2
    2×atan(7.12418553281975)-π/2
    2×1.43134053419385-π/2
    2.86268106838771-1.57079632675     		φ = 1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30720 KachelY 6144 2.74889357 1.29188474 157.500000 74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 30721 KachelY 6144 2.74908532 1.29188474 157.510986 74.019543
    Unten links KachelX 30720 KachelY + 1 6145 2.74889357 1.29183195 157.500000 74.016519
    Unten rechts KachelX + 1 30721 KachelY + 1 6145 2.74908532 1.29183195 157.510986 74.016519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29188474-1.29183195) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dl = 336.325090000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29188474-1.29183195) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dr = 336.325090000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.74908532) × cos(1.29188474) × R
    0.000191749999999935 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 336.328841803798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.74908532) × cos(1.29183195) × R
    0.000191749999999935 × 0.275360209230885 × 6371000     		du = 336.390839484547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29188474)-sin(1.29183195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275360209230885)×R²
    abs(2.74908532-2.74889357)×5.0749581555376e-05×R²
    0.000191749999999935×5.0749581555376e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.0749581555376e-05×40589641000000     		ar = 113126.253703731m²