Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30721 / 14337
↖ ↑ ↗
← N 21.932855°
E157.510986°		 ← 1 133.22 m → N 21.932855°
E157.521973°		 →
↑
1 133.27 m
↓
↑
1 133.27 m
↓
N 21.922663°
E157.510986°		 ← 1 133.30 m →
1 284 294 m²		 N 21.922663°
E157.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937545776367188 y=0.437545776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937545776367188 × 215)
    floor (0.937545776367188 × 32768)
    floor (30721.5)     		tx = 30721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437545776367188 × 215)
    floor (0.437545776367188 × 32768)
    floor (14337.5)     		ty = 14337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30721 / 14337 ti = "15/30721/14337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30721/14337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30721 ÷ 215
    30721 ÷ 32768     		x = 0.937530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14337 ÷ 215
    14337 ÷ 32768     		y = 0.437530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.937530517578125 × 2 - 1) × π
    0.87506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.74908532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.39250733408902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74908532} λ = 2.74908532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39250733408902))-π/2
    2×atan(1.48068872474413)-π/2
    2×0.976798428147587-π/2
    1.95359685629517-1.57079632675     		φ = 0.38280053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74908532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38280053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.932855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30721 KachelY 14337 2.74908532 0.38280053 157.510986 21.932855
    Oben rechts KachelX + 1 30722 KachelY 14337 2.74927707 0.38280053 157.521973 21.932855
    Unten links KachelX 30721 KachelY + 1 14338 2.74908532 0.38262265 157.510986 21.922663
    Unten rechts KachelX + 1 30722 KachelY + 1 14338 2.74927707 0.38262265 157.521973 21.922663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38280053-0.38262265) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dl = 1133.27348000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38280053-0.38262265) × R
    0.000177880000000019 × 6371000     		dr = 1133.27348000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74908532-2.74927707) × cos(0.38280053) × R
    0.000191750000000379 × 0.92762222129089 × 6371000     		do = 1133.21971470338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74908532-2.74927707) × cos(0.38262265) × R
    0.000191750000000379 × 0.927688648310687 × 6371000     		du = 1133.30086455802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38280053)-sin(0.38262265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92762222129089-0.927688648310687)×R²
    abs(2.74927707-2.74908532)×6.64270197976435e-05×R²
    0.000191750000000379×6.64270197976435e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.64270197976435e-05×40589641000000     		ar = 1284293.83556195m²