Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30721 / 47103
↖ ↑ ↗
← S 61.603784°
W 11.244507°		 ← 290.50 m → S 61.603784°
W 11.239013°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
S 61.606397°
W 11.244507°		 ← 290.48 m →
84 392 m²		 S 61.606397°
W 11.239013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468772888183594 y=0.718742370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468772888183594 × 216)
    floor (0.468772888183594 × 65536)
    floor (30721.5)     		tx = 30721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718742370605469 × 216)
    floor (0.718742370605469 × 65536)
    floor (47103.5)     		ty = 47103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30721 / 47103 ti = "16/30721/47103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30721/47103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30721 ÷ 216
    30721 ÷ 65536     		x = 0.468765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47103 ÷ 216
    47103 ÷ 65536     		y = 0.718734741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468765258789062 × 2 - 1) × π
    -0.062469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19625367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718734741210938 × 2 - 1) × π
    -0.437469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37435091210701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19625367} λ = -0.19625367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37435091210701))-π/2
    2×atan(0.253003764199347)-π/2
    2×0.247803731125726-π/2
    0.495607462251451-1.57079632675     		φ = -1.07518886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19625367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07518886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.603784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30721 KachelY 47103 -0.19625367 -1.07518886 -11.244507 -61.603784
    Oben rechts KachelX + 1 30722 KachelY 47103 -0.19615779 -1.07518886 -11.239013 -61.603784
    Unten links KachelX 30721 KachelY + 1 47104 -0.19625367 -1.07523446 -11.244507 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 30722 KachelY + 1 47104 -0.19615779 -1.07523446 -11.239013 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07518886--1.07523446) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dl = 290.517599999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07518886--1.07523446) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dr = 290.517599999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19625367--0.19615779) × cos(-1.07518886) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.475566115362733 × 6371000     		do = 290.500265407154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19625367--0.19615779) × cos(-1.07523446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 290.475761771005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07518886)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475566115362733-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.19615779--0.19625367)×4.01139015807628e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.01139015807628e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.01139015807628e-05×40589641000000     		ar = 84391.8805516631m²