Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30728 / 47112
↖ ↑ ↗
← S 61.627287°
W 11.206055°		 ← 290.25 m → S 61.627287°
W 11.200562°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
S 61.629897°
W 11.206055°		 ← 290.23 m →
84 245 m²		 S 61.629897°
W 11.200562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468879699707031 y=0.718879699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468879699707031 × 216)
    floor (0.468879699707031 × 65536)
    floor (30728.5)     		tx = 30728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718879699707031 × 216)
    floor (0.718879699707031 × 65536)
    floor (47112.5)     		ty = 47112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30728 / 47112 ti = "16/30728/47112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30728/47112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30728 ÷ 216
    30728 ÷ 65536     		x = 0.4688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47112 ÷ 216
    47112 ÷ 65536     		y = 0.7188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.437744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37521377630017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19558255} λ = -0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37521377630017))-π/2
    2×atan(0.25278555046843)-π/2
    2×0.247598634495558-π/2
    0.495197268991117-1.57079632675     		φ = -1.07559906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07559906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.627287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30728 KachelY 47112 -0.19558255 -1.07559906 -11.206055 -61.627287
    Oben rechts KachelX + 1 30729 KachelY 47112 -0.19548668 -1.07559906 -11.200562 -61.627287
    Unten links KachelX 30728 KachelY + 1 47113 -0.19558255 -1.07564462 -11.206055 -61.629897
    Unten rechts KachelX + 1 30729 KachelY + 1 47113 -0.19548668 -1.07564462 -11.200562 -61.629897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07559906--1.07564462) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07559906--1.07564462) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19558255--0.19548668) × cos(-1.07559906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475205230634088 × 6371000     		do = 290.249543111324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19558255--0.19548668) × cos(-1.07564462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475165143036602 × 6371000     		du = 290.225058097051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07559906)-sin(-1.07564462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475205230634088-0.475165143036602)×R²
    abs(-0.19548668--0.19558255)×4.00875974860271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00875974860271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00875974860271e-05×40589641000000     		ar = 84245.0799431245m²