Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3073 / 5123
↖ ↑ ↗
← S 41.079351°
W 44.956055°		 ← 3 683.44 m → S 41.079351°
W 44.912109°		 →
↑
3 682.50 m
↓
↑
3 682.50 m
↓
S 41.112469°
W 44.956055°		 ← 3 681.58 m →
13 560 856 m²		 S 41.112469°
W 44.912109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37518310546875 y=0.62542724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37518310546875 × 213)
    floor (0.37518310546875 × 8192)
    floor (3073.5)     		tx = 3073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62542724609375 × 213)
    floor (0.62542724609375 × 8192)
    floor (5123.5)     		ty = 5123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3073 / 5123 ti = "13/3073/5123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3073/5123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3073 ÷ 213
    3073 ÷ 8192     		x = 0.3751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5123 ÷ 213
    5123 ÷ 8192     		y = 0.6253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.250732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.787699134556763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78463117} λ = -0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.787699134556763))-π/2
    2×atan(0.454890233333346)-π/2
    2×0.426913197335358-π/2
    0.853826394670717-1.57079632675     		φ = -0.71696993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71696993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.079351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3073 KachelY 5123 -0.78463117 -0.71696993 -44.956055 -41.079351
    Oben rechts KachelX + 1 3074 KachelY 5123 -0.78386418 -0.71696993 -44.912109 -41.079351
    Unten links KachelX 3073 KachelY + 1 5124 -0.78463117 -0.71754794 -44.956055 -41.112469
    Unten rechts KachelX + 1 3074 KachelY + 1 5124 -0.78386418 -0.71754794 -44.912109 -41.112469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71696993--0.71754794) × R
    0.000578010000000018 × 6371000     		dl = 3682.50171000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71696993--0.71754794) × R
    0.000578010000000018 × 6371000     		dr = 3682.50171000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78463117--0.78386418) × cos(-0.71696993) × R
    0.000766990000000023 × 0.753800256513115 × 6371000     		do = 3683.43989545173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78463117--0.78386418) × cos(-0.71754794) × R
    0.000766990000000023 × 0.753420318147633 × 6371000     		du = 3681.58332917819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71696993)-sin(-0.71754794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753800256513115-0.753420318147633)×R²
    abs(-0.78386418--0.78463117)×0.000379938365482113×R²
    0.000766990000000023×0.000379938365482113×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379938365482113×40589641000000     		ar = 13560855.6869948m²