Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30736 / 6160
↖ ↑ ↗
← N 73.971078°
E157.675781°		 ← 337.32 m → N 73.971078°
E157.686768°		 →
↑
337.34 m
↓
↑
337.34 m
↓
N 73.968044°
E157.675781°		 ← 337.38 m →
113 804 m²		 N 73.968044°
E157.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.938003540039062 y=0.188003540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.938003540039062 × 215)
    floor (0.938003540039062 × 32768)
    floor (30736.5)     		tx = 30736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188003540039062 × 215)
    floor (0.188003540039062 × 32768)
    floor (6160.5)     		ty = 6160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30736 / 6160 ti = "15/30736/6160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30736/6160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30736 ÷ 215
    30736 ÷ 32768     		x = 0.93798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6160 ÷ 215
    6160 ÷ 32768     		y = 0.18798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93798828125 × 2 - 1) × π
    0.8759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.75196153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18798828125 × 2 - 1) × π
    0.6240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96042744686182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75196153} λ = 2.75196153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96042744686182))-π/2
    2×atan(7.10236229888599)-π/2
    2×1.43091759141713-π/2
    2.86183518283426-1.57079632675     		φ = 1.29103886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75196153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29103886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.971078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30736 KachelY 6160 2.75196153 1.29103886 157.675781 73.971078
    Oben rechts KachelX + 1 30737 KachelY 6160 2.75215328 1.29103886 157.686768 73.971078
    Unten links KachelX 30736 KachelY + 1 6161 2.75196153 1.29098591 157.675781 73.968044
    Unten rechts KachelX + 1 30737 KachelY + 1 6161 2.75215328 1.29098591 157.686768 73.968044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29103886-1.29098591) × R
    5.29499999999405e-05 × 6371000     		dl = 337.344449999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29103886-1.29098591) × R
    5.29499999999405e-05 × 6371000     		dr = 337.344449999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75196153-2.75215328) × cos(1.29103886) × R
    0.000191749999999935 × 0.276122552582718 × 6371000     		do = 337.322148045123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75196153-2.75215328) × cos(1.29098591) × R
    0.000191749999999935 × 0.27617344362857 × 6371000     		du = 337.384318544209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29103886)-sin(1.29098591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276122552582718-0.27617344362857)×R²
    abs(2.75215328-2.75196153)×5.08910458513201e-05×R²
    0.000191749999999935×5.08910458513201e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.08910458513201e-05×40589641000000     		ar = 113804.240968438m²