Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3075 / 1029
↖ ↑ ↗
← N 66.337505°
E 90.263672°		 ← 3 922.37 m → N 66.337505°
E 90.351563°		 →
↑
3 925.11 m
↓
↑
3 925.11 m
↓
N 66.302206°
E 90.263672°		 ← 3 927.89 m →
15 406 560 m²		 N 66.302206°
E 90.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7508544921875 y=0.2513427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7508544921875 × 212)
    floor (0.7508544921875 × 4096)
    floor (3075.5)     		tx = 3075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2513427734375 × 212)
    floor (0.2513427734375 × 4096)
    floor (1029.5)     		ty = 1029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3075 / 1029 ti = "12/3075/1029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3075/1029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3075 ÷ 212
    3075 ÷ 4096     		x = 0.750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1029 ÷ 212
    1029 ÷ 4096     		y = 0.251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750732421875 × 2 - 1) × π
    0.50146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.57539827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251220703125 × 2 - 1) × π
    0.49755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56312642281079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57539827} λ = 1.57539827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56312642281079))-π/2
    2×atan(4.77372261428353)-π/2
    2×1.36430210346681-π/2
    2.72860420693362-1.57079632675     		φ = 1.15780788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57539827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15780788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.337505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3075 KachelY 1029 1.57539827 1.15780788 90.263672 66.337505
    Oben rechts KachelX + 1 3076 KachelY 1029 1.57693225 1.15780788 90.351563 66.337505
    Unten links KachelX 3075 KachelY + 1 1030 1.57539827 1.15719179 90.263672 66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 3076 KachelY + 1 1030 1.57693225 1.15719179 90.351563 66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15780788-1.15719179) × R
    0.000616090000000069 × 6371000     		dl = 3925.10939000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15780788-1.15719179) × R
    0.000616090000000069 × 6371000     		dr = 3925.10939000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57539827-1.57693225) × cos(1.15780788) × R
    0.00153398000000005 × 0.40134831073675 × 6371000     		do = 3922.37165473604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57539827-1.57693225) × cos(1.15719179) × R
    0.00153398000000005 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 3927.88573345844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15780788)-sin(1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40134831073675-0.401912527077093)×R²
    abs(1.57693225-1.57539827)×0.000564216340343482×R²
    0.00153398000000005×0.000564216340343482×6371000²
    0.00153398000000005×0.000564216340343482×40589641000000     		ar = 15406559.9814779m²