Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3075 / 1029
↖ ↑ ↗
← N 79.129976°
W 44.868164°		 ← 921.50 m → N 79.129976°
W 44.824219°		 →
↑
921.82 m
↓
↑
921.82 m
↓
N 79.121686°
W 44.868164°		 ← 922.20 m →
849 780 m²		 N 79.121686°
W 44.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37542724609375 y=0.12567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37542724609375 × 213)
    floor (0.37542724609375 × 8192)
    floor (3075.5)     		tx = 3075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12567138671875 × 213)
    floor (0.12567138671875 × 8192)
    floor (1029.5)     		ty = 1029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3075 / 1029 ti = "13/3075/1029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3075/1029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3075 ÷ 213
    3075 ÷ 8192     		x = 0.3753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1029 ÷ 213
    1029 ÷ 8192     		y = 0.1256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78309719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1256103515625 × 2 - 1) × π
    0.748779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3523595381554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78309719} λ = -0.78309719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3523595381554))-π/2
    2×atan(10.5103400383319)-π/2
    2×1.4759374739996-π/2
    2.95187494799921-1.57079632675     		φ = 1.38107862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78309719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38107862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.129976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3075 KachelY 1029 -0.78309719 1.38107862 -44.868164 79.129976
    Oben rechts KachelX + 1 3076 KachelY 1029 -0.78233020 1.38107862 -44.824219 79.129976
    Unten links KachelX 3075 KachelY + 1 1030 -0.78309719 1.38093393 -44.868164 79.121686
    Unten rechts KachelX + 1 3076 KachelY + 1 1030 -0.78233020 1.38093393 -44.824219 79.121686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38107862-1.38093393) × R
    0.000144689999999947 × 6371000     		dl = 921.819989999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38107862-1.38093393) × R
    0.000144689999999947 × 6371000     		dr = 921.819989999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78309719--0.78233020) × cos(1.38107862) × R
    0.000766990000000023 × 0.188581674332195 × 6371000     		do = 921.503086241264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78309719--0.78233020) × cos(1.38093393) × R
    0.000766990000000023 × 0.188723766258762 × 6371000     		du = 922.197417486996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38107862)-sin(1.38093393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188581674332195-0.188723766258762)×R²
    abs(-0.78233020--0.78309719)×0.000142091926566917×R²
    0.000766990000000023×0.000142091926566917×6371000²
    0.000766990000000023×0.000142091926566917×40589641000000     		ar = 849779.991436338m²