Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3076 / 3076
↖ ↑ ↗
← S 66.652977°
E 90.351563°		 ← 3 873.03 m → S 66.652977°
E 90.439453°		 →
↑
3 870.32 m
↓
↑
3 870.32 m
↓
S 66.687784°
E 90.351563°		 ← 3 867.57 m →
14 979 297 m²		 S 66.687784°
E 90.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7510986328125 y=0.7510986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7510986328125 × 212)
    floor (0.7510986328125 × 4096)
    floor (3076.5)     		tx = 3076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7510986328125 × 212)
    floor (0.7510986328125 × 4096)
    floor (3076.5)     		ty = 3076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3076 / 3076 ti = "12/3076/3076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3076/3076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3076 ÷ 212
    3076 ÷ 4096     		x = 0.7509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3076 ÷ 212
    3076 ÷ 4096     		y = 0.7509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    0.501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57693225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    -0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57693225} λ = 1.57693225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57693224990137))-π/2
    2×atan(0.206607948549754)-π/2
    2×0.203741207457871-π/2
    0.407482414915741-1.57079632675     		φ = -1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57693225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3076 KachelY 3076 1.57693225 -1.16331391 90.351563 -66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 3077 KachelY 3076 1.57846623 -1.16331391 90.439453 -66.652977
    Unten links KachelX 3076 KachelY + 1 3077 1.57693225 -1.16392140 90.351563 -66.687784
    Unten rechts KachelX + 1 3077 KachelY + 1 3077 1.57846623 -1.16392140 90.439453 -66.687784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16331391--1.16392140) × R
    0.000607489999999933 × 6371000     		dl = 3870.31878999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16331391--1.16392140) × R
    0.000607489999999933 × 6371000     		dr = 3870.31878999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57693225-1.57846623) × cos(-1.16331391) × R
    0.00153398000000005 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 3873.02616912353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57693225-1.57846623) × cos(-1.16392140) × R
    0.00153398000000005 × 0.395741316516025 × 6371000     		du = 3867.57457546276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16331391)-sin(-1.16392140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.395741316516025)×R²
    abs(1.57846623-1.57693225)×0.000557822689732035×R²
    0.00153398000000005×0.000557822689732035×6371000²
    0.00153398000000005×0.000557822689732035×40589641000000     		ar = 14979296.714497m²