Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3076 / 5131
↖ ↑ ↗
← S 41.343824°
W 44.824219°		 ← 3 668.58 m → S 41.343824°
W 44.780273°		 →
↑
3 667.66 m
↓
↑
3 667.66 m
↓
S 41.376808°
W 44.824219°		 ← 3 666.72 m →
13 451 683 m²		 S 41.376808°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37554931640625 y=0.62640380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37554931640625 × 213)
    floor (0.37554931640625 × 8192)
    floor (3076.5)     		tx = 3076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62640380859375 × 213)
    floor (0.62640380859375 × 8192)
    floor (5131.5)     		ty = 5131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3076 / 5131 ti = "13/3076/5131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3076/5131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3076 ÷ 213
    3076 ÷ 8192     		x = 0.37548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5131 ÷ 213
    5131 ÷ 8192     		y = 0.6263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78233020} λ = -0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79383505770813))-π/2
    2×atan(0.452107607538701)-π/2
    2×0.424605231251637-π/2
    0.849210462503275-1.57079632675     		φ = -0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3076 KachelY 5131 -0.78233020 -0.72158586 -44.824219 -41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 3077 KachelY 5131 -0.78156321 -0.72158586 -44.780273 -41.343824
    Unten links KachelX 3076 KachelY + 1 5132 -0.78233020 -0.72216154 -44.824219 -41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 3077 KachelY + 1 5132 -0.78156321 -0.72216154 -44.780273 -41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72158586--0.72216154) × R
    0.000575679999999967 × 6371000     		dl = 3667.65727999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72158586--0.72216154) × R
    0.000575679999999967 × 6371000     		dr = 3667.65727999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78233020--0.78156321) × cos(-0.72158586) × R
    0.000766990000000023 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 3668.57926754563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78233020--0.78156321) × cos(-0.72216154) × R
    0.000766990000000023 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 3666.72042188478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72158586)-sin(-0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.78156321--0.78233020)×0.000380404832366898×R²
    0.000766990000000023×0.000380404832366898×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380404832366898×40589641000000     		ar = 13451683.0249613m²