Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3076 / 7173
↖ ↑ ↗
← S 79.212538°
W 44.824219°		 ← 914.59 m → S 79.212538°
W 44.780273°		 →
↑
914.24 m
↓
↑
914.24 m
↓
S 79.220760°
W 44.824219°		 ← 913.90 m →
835 836 m²		 S 79.220760°
W 44.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37554931640625 y=0.87567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37554931640625 × 213)
    floor (0.37554931640625 × 8192)
    floor (3076.5)     		tx = 3076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87567138671875 × 213)
    floor (0.87567138671875 × 8192)
    floor (7173.5)     		ty = 7173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3076 / 7173 ti = "13/3076/7173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3076/7173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3076 ÷ 213
    3076 ÷ 8192     		x = 0.37548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7173 ÷ 213
    7173 ÷ 8192     		y = 0.8756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78233020} λ = -0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3600294420946))-π/2
    2×atan(0.0944174433080815)-π/2
    2×0.0941383682417059-π/2
    0.188276736483412-1.57079632675     		φ = -1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3076 KachelY 7173 -0.78233020 -1.38251959 -44.824219 -79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 3077 KachelY 7173 -0.78156321 -1.38251959 -44.780273 -79.212538
    Unten links KachelX 3076 KachelY + 1 7174 -0.78233020 -1.38266309 -44.824219 -79.220760
    Unten rechts KachelX + 1 3077 KachelY + 1 7174 -0.78156321 -1.38266309 -44.780273 -79.220760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38251959--1.38266309) × R
    0.000143500000000074 × 6371000     		dl = 914.238500000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38251959--1.38266309) × R
    0.000143500000000074 × 6371000     		dr = 914.238500000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78233020--0.78156321) × cos(-1.38251959) × R
    0.000766990000000023 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 914.587179979041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78233020--0.78156321) × cos(-1.38266309) × R
    0.000766990000000023 × 0.187025397599732 × 6371000     		du = 913.898350430698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38251959)-sin(-1.38266309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.187025397599732)×R²
    abs(-0.78156321--0.78233020)×0.000140966027673217×R²
    0.000766990000000023×0.000140966027673217×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140966027673217×40589641000000     		ar = 835835.935729862m²