Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3078 / 1030
↖ ↑ ↗
← N 66.302206°
E 90.527344°		 ← 3 927.89 m → N 66.302206°
E 90.615234°		 →
↑
3 930.65 m
↓
↑
3 930.65 m
↓
N 66.266856°
E 90.527344°		 ← 3 933.41 m →
15 450 002 m²		 N 66.266856°
E 90.615234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7515869140625 y=0.2515869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7515869140625 × 212)
    floor (0.7515869140625 × 4096)
    floor (3078.5)     		tx = 3078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2515869140625 × 212)
    floor (0.2515869140625 × 4096)
    floor (1030.5)     		ty = 1030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3078 / 1030 ti = "12/3078/1030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3078/1030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3078 ÷ 212
    3078 ÷ 4096     		x = 0.75146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1030 ÷ 212
    1030 ÷ 4096     		y = 0.25146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58000021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25146484375 × 2 - 1) × π
    0.4970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.56159244202295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58000021} λ = 1.58000021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56159244202295))-π/2
    2×atan(4.76640542915227)-π/2
    2×1.36399405683347-π/2
    2.72798811366694-1.57079632675     		φ = 1.15719179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58000021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15719179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.302206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3078 KachelY 1030 1.58000021 1.15719179 90.527344 66.302206
    Oben rechts KachelX + 1 3079 KachelY 1030 1.58153419 1.15719179 90.615234 66.302206
    Unten links KachelX 3078 KachelY + 1 1031 1.58000021 1.15657483 90.527344 66.266856
    Unten rechts KachelX + 1 3079 KachelY + 1 1031 1.58153419 1.15657483 90.615234 66.266856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15719179-1.15657483) × R
    0.000616959999999889 × 6371000     		dl = 3930.65215999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15719179-1.15657483) × R
    0.000616959999999889 × 6371000     		dr = 3930.65215999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58000021-1.58153419) × cos(1.15719179) × R
    0.00153398000000005 × 0.401912527077093 × 6371000     		do = 3927.88573345844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58000021-1.58153419) × cos(1.15657483) × R
    0.00153398000000005 × 0.402477387288944 × 6371000     		du = 3933.40610472843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15719179)-sin(1.15657483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401912527077093-0.402477387288944)×R²
    abs(1.58153419-1.58000021)×0.000564860211850426×R²
    0.00153398000000005×0.000564860211850426×6371000²
    0.00153398000000005×0.000564860211850426×40589641000000     		ar = 15450002.3621519m²