Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3078 / 5118
↖ ↑ ↗
← S 40.913512°
W 44.736328°		 ← 3 692.72 m → S 40.913512°
W 44.692383°		 →
↑
3 691.80 m
↓
↑
3 691.80 m
↓
S 40.946714°
W 44.736328°		 ← 3 690.86 m →
13 629 366 m²		 S 40.946714°
W 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37579345703125 y=0.62481689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37579345703125 × 213)
    floor (0.37579345703125 × 8192)
    floor (3078.5)     		tx = 3078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62481689453125 × 213)
    floor (0.62481689453125 × 8192)
    floor (5118.5)     		ty = 5118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3078 / 5118 ti = "13/3078/5118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3078/5118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3078 ÷ 213
    3078 ÷ 8192     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5118 ÷ 213
    5118 ÷ 8192     		y = 0.624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783864182587158))-π/2
    2×atan(0.456638064812416)-π/2
    2×0.428360411901147-π/2
    0.856720823802294-1.57079632675     		φ = -0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3078 KachelY 5118 -0.78079622 -0.71407550 -44.736328 -40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 3079 KachelY 5118 -0.78002923 -0.71407550 -44.692383 -40.913512
    Unten links KachelX 3078 KachelY + 1 5119 -0.78079622 -0.71465497 -44.736328 -40.946714
    Unten rechts KachelX + 1 3079 KachelY + 1 5119 -0.78002923 -0.71465497 -44.692383 -40.946714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71407550--0.71465497) × R
    0.000579470000000026 × 6371000     		dl = 3691.80337000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71407550--0.71465497) × R
    0.000579470000000026 × 6371000     		dr = 3691.80337000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78002923) × cos(-0.71407550) × R
    0.000766990000000023 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 3692.71827227873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78002923) × cos(-0.71465497) × R
    0.000766990000000023 × 0.755319403939046 × 6371000     		du = 3690.86319915506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71407550)-sin(-0.71465497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.755319403939046)×R²
    abs(-0.78002923--0.78079622)×0.000379632798733653×R²
    0.000766990000000023×0.000379632798733653×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379632798733653×40589641000000     		ar = 13629365.8608333m²