Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30784 / 14400
↖ ↑ ↗
← N 21.289374°
E158.203125°		 ← 1 138.27 m → N 21.289374°
E158.214112°		 →
↑
1 138.31 m
↓
↑
1 138.31 m
↓
N 21.279137°
E158.203125°		 ← 1 138.35 m →
1 295 749 m²		 N 21.279137°
E158.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939468383789062 y=0.439468383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939468383789062 × 215)
    floor (0.939468383789062 × 32768)
    floor (30784.5)     		tx = 30784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439468383789062 × 215)
    floor (0.439468383789062 × 32768)
    floor (14400.5)     		ty = 14400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30784 / 14400 ti = "15/30784/14400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30784/14400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30784 ÷ 215
    30784 ÷ 32768     		x = 0.939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14400 ÷ 215
    14400 ÷ 32768     		y = 0.439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939453125 × 2 - 1) × π
    0.87890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76116542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439453125 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76116542} λ = 2.76116542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380427235384766))-π/2
    2×atan(1.46290946262789)-π/2
    2×0.971183002492088-π/2
    1.94236600498418-1.57079632675     		φ = 0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76116542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30784 KachelY 14400 2.76116542 0.37156968 158.203125 21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 30785 KachelY 14400 2.76135717 0.37156968 158.214112 21.289374
    Unten links KachelX 30784 KachelY + 1 14401 2.76116542 0.37139101 158.203125 21.279137
    Unten rechts KachelX + 1 30785 KachelY + 1 14401 2.76135717 0.37139101 158.214112 21.279137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37156968-0.37139101) × R
    0.000178669999999992 × 6371000     		dl = 1138.30656999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37156968-0.37139101) × R
    0.000178669999999992 × 6371000     		dr = 1138.30656999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76116542-2.76135717) × cos(0.37156968) × R
    0.000191749999999935 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 1138.2728488811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76116542-2.76135717) × cos(0.37139101) × R
    0.000191749999999935 × 0.931823433102173 × 6371000     		du = 1138.35207994698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37156968)-sin(0.37139101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.931823433102173)×R²
    abs(2.76135717-2.76116542)×6.48563525406098e-05×R²
    0.000191749999999935×6.48563525406098e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.48563525406098e-05×40589641000000     		ar = 1295748.56040253m²