Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3079 / 5127
↖ ↑ ↗
← S 41.211721°
W 44.692383°		 ← 3 676.01 m → S 41.211721°
W 44.648437°		 →
↑
3 675.11 m
↓
↑
3 675.11 m
↓
S 41.244773°
W 44.692383°		 ← 3 674.15 m →
13 506 340 m²		 S 41.244773°
W 44.648437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37591552734375 y=0.62591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37591552734375 × 213)
    floor (0.37591552734375 × 8192)
    floor (3079.5)     		tx = 3079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62591552734375 × 213)
    floor (0.62591552734375 × 8192)
    floor (5127.5)     		ty = 5127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3079 / 5127 ti = "13/3079/5127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3079/5127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3079 ÷ 213
    3079 ÷ 8192     		x = 0.3758544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5127 ÷ 213
    5127 ÷ 8192     		y = 0.6258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.248291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78002923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790767096132446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78002923} λ = -0.78002923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790767096132446))-π/2
    2×atan(0.453496786190443)-π/2
    2×0.425758048018934-π/2
    0.851516096037868-1.57079632675     		φ = -0.71928023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78002923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.692383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71928023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.211721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3079 KachelY 5127 -0.78002923 -0.71928023 -44.692383 -41.211721
    Oben rechts KachelX + 1 3080 KachelY 5127 -0.77926224 -0.71928023 -44.648437 -41.211721
    Unten links KachelX 3079 KachelY + 1 5128 -0.78002923 -0.71985708 -44.692383 -41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 3080 KachelY + 1 5128 -0.77926224 -0.71985708 -44.648437 -41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71928023--0.71985708) × R
    0.000576850000000073 × 6371000     		dl = 3675.11135000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71928023--0.71985708) × R
    0.000576850000000073 × 6371000     		dr = 3675.11135000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78002923--0.77926224) × cos(-0.71928023) × R
    0.000766990000000023 × 0.752280139661703 × 6371000     		do = 3676.01185465728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78002923--0.77926224) × cos(-0.71985708) × R
    0.000766990000000023 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 3674.15411280796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71928023)-sin(-0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752280139661703-0.751899960719653)×R²
    abs(-0.77926224--0.78002923)×0.000380178942049891×R²
    0.000766990000000023×0.000380178942049891×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380178942049891×40589641000000     		ar = 13506339.5602349m²