Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3080 / 1033
↖ ↑ ↗
← N 66.196009°
E 90.703125°		 ← 3 944.47 m → N 66.196009°
E 90.791015°		 →
↑
3 947.28 m
↓
↑
3 947.28 m
↓
N 66.160510°
E 90.703125°		 ← 3 950 m →
15 580 845 m²		 N 66.160510°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7520751953125 y=0.2523193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7520751953125 × 212)
    floor (0.7520751953125 × 4096)
    floor (3080.5)     		tx = 3080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2523193359375 × 212)
    floor (0.2523193359375 × 4096)
    floor (1033.5)     		ty = 1033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3080 / 1033 ti = "12/3080/1033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3080/1033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3080 ÷ 212
    3080 ÷ 4096     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1033 ÷ 212
    1033 ÷ 4096     		y = 0.252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.252197265625 × 2 - 1) × π
    0.49560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.55699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55699049965942))-π/2
    2×atan(4.74452109991897)-π/2
    2×1.36306731699134-π/2
    2.72613463398267-1.57079632675     		φ = 1.15533831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15533831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3080 KachelY 1033 1.58306817 1.15533831 90.703125 66.196009
    Oben rechts KachelX + 1 3081 KachelY 1033 1.58460215 1.15533831 90.791015 66.196009
    Unten links KachelX 3080 KachelY + 1 1034 1.58306817 1.15471874 90.703125 66.160510
    Unten rechts KachelX + 1 3081 KachelY + 1 1034 1.58460215 1.15471874 90.791015 66.160510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15533831-1.15471874) × R
    0.000619570000000014 × 6371000     		dl = 3947.28047000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15533831-1.15471874) × R
    0.000619570000000014 × 6371000     		dr = 3947.28047000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58460215) × cos(1.15533831) × R
    0.00153398000000005 × 0.403609026724576 × 6371000     		do = 3944.46560174626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58460215) × cos(1.15471874) × R
    0.00153398000000005 × 0.40417581336684 × 6371000     		du = 3950.00479999483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15533831)-sin(1.15471874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403609026724576-0.40417581336684)×R²
    abs(1.58460215-1.58306817)×0.00056678664226445×R²
    0.00153398000000005×0.00056678664226445×6371000²
    0.00153398000000005×0.00056678664226445×40589641000000     		ar = 15580844.9173074m²