Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3080 / 3064
↖ ↑ ↗
← S 66.231457°
E 90.703125°		 ← 3 938.93 m → S 66.231457°
E 90.791015°		 →
↑
3 936.19 m
↓
↑
3 936.19 m
↓
S 66.266856°
E 90.703125°		 ← 3 933.41 m →
15 493 531 m²		 S 66.266856°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7520751953125 y=0.7481689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7520751953125 × 212)
    floor (0.7520751953125 × 4096)
    floor (3080.5)     		tx = 3080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7481689453125 × 212)
    floor (0.7481689453125 × 4096)
    floor (3064.5)     		ty = 3064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3080 / 3064 ti = "12/3080/3064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3080/3064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3080 ÷ 212
    3080 ÷ 4096     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3064 ÷ 212
    3064 ÷ 4096     		y = 0.748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748046875 × 2 - 1) × π
    -0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55852448044727))-π/2
    2×atan(0.210446359944815)-π/2
    2×0.207419662708105-π/2
    0.41483932541621-1.57079632675     		φ = -1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3080 KachelY 3064 1.58306817 -1.15595700 90.703125 -66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 3081 KachelY 3064 1.58460215 -1.15595700 90.791015 -66.231457
    Unten links KachelX 3080 KachelY + 1 3065 1.58306817 -1.15657483 90.703125 -66.266856
    Unten rechts KachelX + 1 3081 KachelY + 1 3065 1.58460215 -1.15657483 90.791015 -66.266856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15595700--1.15657483) × R
    0.000617830000000152 × 6371000     		dl = 3936.19493000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15595700--1.15657483) × R
    0.000617830000000152 × 6371000     		dr = 3936.19493000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58460215) × cos(-1.15595700) × R
    0.00153398000000005 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 3938.93276011535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58460215) × cos(-1.15657483) × R
    0.00153398000000005 × 0.402477387288944 × 6371000     		du = 3933.40610472843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15595700)-sin(-1.15657483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.402477387288944)×R²
    abs(1.58460215-1.58306817)×0.000565503220708308×R²
    0.00153398000000005×0.000565503220708308×6371000²
    0.00153398000000005×0.000565503220708308×40589641000000     		ar = 15493530.6563596m²