Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3080 / 3080
↖ ↑ ↗
← S 66.791909°
E 90.703125°		 ← 3 851.26 m → S 66.791909°
E 90.791015°		 →
↑
3 848.59 m
↓
↑
3 848.59 m
↓
S 66.826520°
E 90.703125°		 ← 3 845.83 m →
14 811 483 m²		 S 66.826520°
E 90.791015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7520751953125 y=0.7520751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7520751953125 × 212)
    floor (0.7520751953125 × 4096)
    floor (3080.5)     		tx = 3080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7520751953125 × 212)
    floor (0.7520751953125 × 4096)
    floor (3080.5)     		ty = 3080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3080 / 3080 ti = "12/3080/3080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3080/3080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3080 ÷ 212
    3080 ÷ 4096     		x = 0.751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3080 ÷ 212
    3080 ÷ 4096     		y = 0.751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751953125 × 2 - 1) × π
    0.50390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58306817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751953125 × 2 - 1) × π
    -0.50390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58306817305273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58306817} λ = 1.58306817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58306817305273))-π/2
    2×atan(0.20534409946071)-π/2
    2×0.202528796403796-π/2
    0.405057592807592-1.57079632675     		φ = -1.16573873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58306817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16573873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.791909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3080 KachelY 3080 1.58306817 -1.16573873 90.703125 -66.791909
    Oben rechts KachelX + 1 3081 KachelY 3080 1.58460215 -1.16573873 90.791015 -66.791909
    Unten links KachelX 3080 KachelY + 1 3081 1.58306817 -1.16634281 90.703125 -66.826520
    Unten rechts KachelX + 1 3081 KachelY + 1 3081 1.58460215 -1.16634281 90.791015 -66.826520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16573873--1.16634281) × R
    0.000604080000000007 × 6371000     		dl = 3848.59368000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16573873--1.16634281) × R
    0.000604080000000007 × 6371000     		dr = 3848.59368000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58306817-1.58460215) × cos(-1.16573873) × R
    0.00153398000000005 × 0.394071697069453 × 6371000     		do = 3851.2574070177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58306817-1.58460215) × cos(-1.16634281) × R
    0.00153398000000005 × 0.393516427536312 × 6371000     		du = 3845.83076532204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16573873)-sin(-1.16634281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394071697069453-0.393516427536312)×R²
    abs(1.58460215-1.58306817)×0.000555269533140224×R²
    0.00153398000000005×0.000555269533140224×6371000²
    0.00153398000000005×0.000555269533140224×40589641000000     		ar = 14811482.8976407m²