Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3081 / 3081
↖ ↑ ↗
← S 66.826520°
E 90.791015°		 ← 3 845.83 m → S 66.826520°
E 90.878906°		 →
↑
3 843.11 m
↓
↑
3 843.11 m
↓
S 66.861082°
E 90.791015°		 ← 3 840.41 m →
14 769 553 m²		 S 66.861082°
E 90.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7523193359375 y=0.7523193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7523193359375 × 212)
    floor (0.7523193359375 × 4096)
    floor (3081.5)     		tx = 3081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7523193359375 × 212)
    floor (0.7523193359375 × 4096)
    floor (3081.5)     		ty = 3081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3081 / 3081 ti = "12/3081/3081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3081/3081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3081 ÷ 212
    3081 ÷ 4096     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3081 ÷ 212
    3081 ÷ 4096     		y = 0.752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.50439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58460215384058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58460215384058))-π/2
    2×atan(0.205029347031051)-π/2
    2×0.202226760181831-π/2
    0.404453520363663-1.57079632675     		φ = -1.16634281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16634281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.826520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3081 KachelY 3081 1.58460215 -1.16634281 90.791015 -66.826520
    Oben rechts KachelX + 1 3082 KachelY 3081 1.58613613 -1.16634281 90.878906 -66.826520
    Unten links KachelX 3081 KachelY + 1 3082 1.58460215 -1.16694603 90.791015 -66.861082
    Unten rechts KachelX + 1 3082 KachelY + 1 3082 1.58613613 -1.16694603 90.878906 -66.861082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16634281--1.16694603) × R
    0.000603220000000126 × 6371000     		dl = 3843.11462000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16634281--1.16694603) × R
    0.000603220000000126 × 6371000     		dr = 3843.11462000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58613613) × cos(-1.16634281) × R
    0.00153398000000005 × 0.393516427536312 × 6371000     		do = 3845.83076532204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58613613) × cos(-1.16694603) × R
    0.00153398000000005 × 0.392961805221324 × 6371000     		du = 3840.41044888069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16634281)-sin(-1.16694603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393516427536312-0.392961805221324)×R²
    abs(1.58613613-1.58460215)×0.000554622314988595×R²
    0.00153398000000005×0.000554622314988595×6371000²
    0.00153398000000005×0.000554622314988595×40589641000000     		ar = 14769553.4394316m²