Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3081 / 5143
↖ ↑ ↗
← S 41.738529°
W 44.604492°		 ← 3 646.26 m → S 41.738529°
W 44.560547°		 →
↑
3 645.30 m
↓
↑
3 645.30 m
↓
S 41.771312°
W 44.604492°		 ← 3 644.39 m →
13 288 285 m²		 S 41.771312°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37615966796875 y=0.62786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37615966796875 × 213)
    floor (0.37615966796875 × 8192)
    floor (3081.5)     		tx = 3081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62786865234375 × 213)
    floor (0.62786865234375 × 8192)
    floor (5143.5)     		ty = 5143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3081 / 5143 ti = "13/3081/5143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3081/5143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3081 ÷ 213
    3081 ÷ 8192     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5143 ÷ 213
    5143 ÷ 8192     		y = 0.6278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803038942435181))-π/2
    2×atan(0.447965551975595)-π/2
    2×0.421160790042159-π/2
    0.842321580084317-1.57079632675     		φ = -0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3081 KachelY 5143 -0.77849525 -0.72847475 -44.604492 -41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 3082 KachelY 5143 -0.77772826 -0.72847475 -44.560547 -41.738529
    Unten links KachelX 3081 KachelY + 1 5144 -0.77849525 -0.72904692 -44.604492 -41.771312
    Unten rechts KachelX + 1 3082 KachelY + 1 5144 -0.77772826 -0.72904692 -44.560547 -41.771312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72847475--0.72904692) × R
    0.000572170000000094 × 6371000     		dl = 3645.2950700006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72847475--0.72904692) × R
    0.000572170000000094 × 6371000     		dr = 3645.2950700006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77772826) × cos(-0.72847475) × R
    0.000766990000000023 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 3646.25574149476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77772826) × cos(-0.72904692) × R
    0.000766990000000023 × 0.745809643916539 × 6371000     		du = 3644.39382061556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72847475)-sin(-0.72904692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.745809643916539)×R²
    abs(-0.77772826--0.77849525)×0.000381034162680316×R²
    0.000766990000000023×0.000381034162680316×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381034162680316×40589641000000     		ar = 13288284.8154563m²