Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3082 / 5130
↖ ↑ ↗
← S 41.310824°
W 44.560547°		 ← 3 670.44 m → S 41.310824°
W 44.516602°		 →
↑
3 669.50 m
↓
↑
3 669.50 m
↓
S 41.343824°
W 44.560547°		 ← 3 668.58 m →
13 465 280 m²		 S 41.343824°
W 44.516602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37628173828125 y=0.62628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37628173828125 × 213)
    floor (0.37628173828125 × 8192)
    floor (3082.5)     		tx = 3082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62628173828125 × 213)
    floor (0.62628173828125 × 8192)
    floor (5130.5)     		ty = 5130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3082 / 5130 ti = "13/3082/5130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3082/5130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3082 ÷ 213
    3082 ÷ 8192     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5130 ÷ 213
    5130 ÷ 8192     		y = 0.626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    -0.25244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.793068067314209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.793068067314209))-π/2
    2×atan(0.452454502746342)-π/2
    2×0.424893216689199-π/2
    0.849786433378399-1.57079632675     		φ = -0.72100989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72100989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.310824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3082 KachelY 5130 -0.77772826 -0.72100989 -44.560547 -41.310824
    Oben rechts KachelX + 1 3083 KachelY 5130 -0.77696127 -0.72100989 -44.516602 -41.310824
    Unten links KachelX 3082 KachelY + 1 5131 -0.77772826 -0.72158586 -44.560547 -41.343824
    Unten rechts KachelX + 1 3083 KachelY + 1 5131 -0.77696127 -0.72158586 -44.516602 -41.343824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72100989--0.72158586) × R
    0.000575969999999981 × 6371000     		dl = 3669.50486999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72100989--0.72158586) × R
    0.000575969999999981 × 6371000     		dr = 3669.50486999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77696127) × cos(-0.72100989) × R
    0.000766989999999912 × 0.75113943989275 × 6371000     		do = 3670.43783288986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77696127) × cos(-0.72158586) × R
    0.000766989999999912 × 0.750759092425873 × 6371000     		du = 3668.5792675451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72100989)-sin(-0.72158586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75113943989275-0.750759092425873)×R²
    abs(-0.77696127--0.77772826)×0.000380347466876874×R²
    0.000766989999999912×0.000380347466876874×6371000²
    0.000766989999999912×0.000380347466876874×40589641000000     		ar = 13465279.8677764m²