Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3084 / 5108
↖ ↑ ↗
← S 40.580584°
W 44.472656°		 ← 3 711.25 m → S 40.580584°
W 44.428711°		 →
↑
3 710.34 m
↓
↑
3 710.34 m
↓
S 40.613952°
W 44.472656°		 ← 3 709.40 m →
13 766 581 m²		 S 40.613952°
W 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37652587890625 y=0.62359619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37652587890625 × 213)
    floor (0.37652587890625 × 8192)
    floor (3084.5)     		tx = 3084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62359619140625 × 213)
    floor (0.62359619140625 × 8192)
    floor (5108.5)     		ty = 5108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3084 / 5108 ti = "13/3084/5108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3084/5108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3084 ÷ 213
    3084 ÷ 8192     		x = 0.37646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5108 ÷ 213
    5108 ÷ 8192     		y = 0.62353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77619428} λ = -0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776194278647949))-π/2
    2×atan(0.460153900730779)-π/2
    2×0.431265756019201-π/2
    0.862531512038402-1.57079632675     		φ = -0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3084 KachelY 5108 -0.77619428 -0.70826481 -44.472656 -40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 3085 KachelY 5108 -0.77542729 -0.70826481 -44.428711 -40.580584
    Unten links KachelX 3084 KachelY + 1 5109 -0.77619428 -0.70884719 -44.472656 -40.613952
    Unten rechts KachelX + 1 3085 KachelY + 1 5109 -0.77542729 -0.70884719 -44.428711 -40.613952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70826481--0.70884719) × R
    0.000582379999999993 × 6371000     		dl = 3710.34297999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70826481--0.70884719) × R
    0.000582379999999993 × 6371000     		dr = 3710.34297999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77619428--0.77542729) × cos(-0.70826481) × R
    0.000766990000000023 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 3711.25153170868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77619428--0.77542729) × cos(-0.70884719) × R
    0.000766990000000023 × 0.759112812393264 × 6371000     		du = 3709.39966411282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70826481)-sin(-0.70884719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.759112812393264)×R²
    abs(-0.77542729--0.77619428)×0.000378976801143294×R²
    0.000766990000000023×0.000378976801143294×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378976801143294×40589641000000     		ar = 13766580.9248195m²