Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30848 / 39040
↖ ↑ ↗
← S 32.546813°
W 10.546875°		 ← 514.86 m → S 32.546813°
W 10.541382°		 →
↑
514.90 m
↓
↑
514.90 m
↓
S 32.551444°
W 10.546875°		 ← 514.84 m →
265 099 m²		 S 32.551444°
W 10.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470710754394531 y=0.595710754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470710754394531 × 216)
    floor (0.470710754394531 × 65536)
    floor (30848.5)     		tx = 30848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595710754394531 × 216)
    floor (0.595710754394531 × 65536)
    floor (39040.5)     		ty = 39040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30848 / 39040 ti = "16/30848/39040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30848/39040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30848 ÷ 216
    30848 ÷ 65536     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39040 ÷ 216
    39040 ÷ 65536     		y = 0.595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595703125 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.601320468833984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601320468833984))-π/2
    2×atan(0.548087425686702)-π/2
    2×0.50137363795004-π/2
    1.00274727590008-1.57079632675     		φ = -0.56804905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56804905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.546813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30848 KachelY 39040 -0.18407769 -0.56804905 -10.546875 -32.546813
    Oben rechts KachelX + 1 30849 KachelY 39040 -0.18398182 -0.56804905 -10.541382 -32.546813
    Unten links KachelX 30848 KachelY + 1 39041 -0.18407769 -0.56812987 -10.546875 -32.551444
    Unten rechts KachelX + 1 30849 KachelY + 1 39041 -0.18398182 -0.56812987 -10.541382 -32.551444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56804905--0.56812987) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dl = 514.904219999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56804905--0.56812987) × R
    8.08199999999815e-05 × 6371000     		dr = 514.904219999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18398182) × cos(-0.56804905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842952167416165 × 6371000     		do = 514.864874552775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18398182) × cos(-0.56812987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.842908684431314 × 6371000     		du = 514.838315677424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56804905)-sin(-0.56812987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842952167416165-0.842908684431314)×R²
    abs(-0.18398182--0.18407769)×4.34829848512397e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34829848512397e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34829848512397e-05×40589641000000     		ar = 265099.259142908m²