Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30848 / 47232
↖ ↑ ↗
← S 61.938950°
W 10.546875°		 ← 287.32 m → S 61.938950°
W 10.541382°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
S 61.941534°
W 10.546875°		 ← 287.30 m →
82 553 m²		 S 61.941534°
W 10.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470710754394531 y=0.720710754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470710754394531 × 216)
    floor (0.470710754394531 × 65536)
    floor (30848.5)     		tx = 30848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720710754394531 × 216)
    floor (0.720710754394531 × 65536)
    floor (47232.5)     		ty = 47232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30848 / 47232 ti = "16/30848/47232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30848/47232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30848 ÷ 216
    30848 ÷ 65536     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47232 ÷ 216
    47232 ÷ 65536     		y = 0.720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720703125 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38671863220898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38671863220898))-π/2
    2×atan(0.249893954725289)-π/2
    2×0.244878853319384-π/2
    0.489757706638767-1.57079632675     		φ = -1.08103862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08103862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.938950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30848 KachelY 47232 -0.18407769 -1.08103862 -10.546875 -61.938950
    Oben rechts KachelX + 1 30849 KachelY 47232 -0.18398182 -1.08103862 -10.541382 -61.938950
    Unten links KachelX 30848 KachelY + 1 47233 -0.18407769 -1.08108372 -10.546875 -61.941534
    Unten rechts KachelX + 1 30849 KachelY + 1 47233 -0.18398182 -1.08108372 -10.541382 -61.941534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08103862--1.08108372) × R
    4.51000000001311e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08103862--1.08108372) × R
    4.51000000001311e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18398182) × cos(-1.08103862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470412091102688 × 6371000     		do = 287.321952105641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18398182) × cos(-1.08108372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470372292270806 × 6371000     		du = 287.297643465868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08103862)-sin(-1.08108372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470412091102688-0.470372292270806)×R²
    abs(-0.18398182--0.18407769)×3.979883188171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.979883188171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.979883188171e-05×40589641000000     		ar = 82553.3275627435m²