Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3085 / 5115
↖ ↑ ↗
← S 40.813809°
W 44.428711°		 ← 3 698.28 m → S 40.813809°
W 44.384766°		 →
↑
3 697.35 m
↓
↑
3 697.35 m
↓
S 40.847060°
W 44.428711°		 ← 3 696.43 m →
13 670 400 m²		 S 40.847060°
W 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37664794921875 y=0.62445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37664794921875 × 213)
    floor (0.37664794921875 × 8192)
    floor (3085.5)     		tx = 3085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62445068359375 × 213)
    floor (0.62445068359375 × 8192)
    floor (5115.5)     		ty = 5115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3085 / 5115 ti = "13/3085/5115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3085/5115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3085 ÷ 213
    3085 ÷ 8192     		x = 0.3765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5115 ÷ 213
    5115 ÷ 8192     		y = 0.6243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.246826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77542729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77542729} λ = -0.77542729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781563211405396))-π/2
    2×atan(0.457689985595636)-π/2
    2×0.429230487728755-π/2
    0.85846097545751-1.57079632675     		φ = -0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77542729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.428711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3085 KachelY 5115 -0.77542729 -0.71233535 -44.428711 -40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 3086 KachelY 5115 -0.77466030 -0.71233535 -44.384766 -40.813809
    Unten links KachelX 3085 KachelY + 1 5116 -0.77542729 -0.71291569 -44.428711 -40.847060
    Unten rechts KachelX + 1 3086 KachelY + 1 5116 -0.77466030 -0.71291569 -44.384766 -40.847060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71233535--0.71291569) × R
    0.000580339999999957 × 6371000     		dl = 3697.34613999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71233535--0.71291569) × R
    0.000580339999999957 × 6371000     		dr = 3697.34613999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77542729--0.77466030) × cos(-0.71233535) × R
    0.000766990000000023 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 3698.28160665763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77542729--0.77466030) × cos(-0.71291569) × R
    0.000766990000000023 × 0.756458109966538 × 6371000     		du = 3696.42747851768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71233535)-sin(-0.71291569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.756458109966538)×R²
    abs(-0.77466030--0.77542729)×0.00037943941184615×R²
    0.000766990000000023×0.00037943941184615×6371000²
    0.000766990000000023×0.00037943941184615×40589641000000     		ar = 13670399.9299222m²