Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3087 / 5134
↖ ↑ ↗
← S 41.442727°
W 44.340820°		 ← 3 663 m → S 41.442727°
W 44.296875°		 →
↑
3 662.05 m
↓
↑
3 662.05 m
↓
S 41.475660°
W 44.340820°		 ← 3 661.14 m →
13 410 694 m²		 S 41.475660°
W 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37689208984375 y=0.62677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37689208984375 × 213)
    floor (0.37689208984375 × 8192)
    floor (3087.5)     		tx = 3087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62677001953125 × 213)
    floor (0.62677001953125 × 8192)
    floor (5134.5)     		ty = 5134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3087 / 5134 ti = "13/3087/5134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3087/5134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3087 ÷ 213
    3087 ÷ 8192     		x = 0.3768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5134 ÷ 213
    5134 ÷ 8192     		y = 0.626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.25341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.796136028889893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77389331} λ = -0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.796136028889893))-π/2
    2×atan(0.451068516879982)-π/2
    2×0.423742150259236-π/2
    0.847484300518473-1.57079632675     		φ = -0.72331203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72331203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.442727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3087 KachelY 5134 -0.77389331 -0.72331203 -44.340820 -41.442727
    Oben rechts KachelX + 1 3088 KachelY 5134 -0.77312632 -0.72331203 -44.296875 -41.442727
    Unten links KachelX 3087 KachelY + 1 5135 -0.77389331 -0.72388683 -44.340820 -41.475660
    Unten rechts KachelX + 1 3088 KachelY + 1 5135 -0.77312632 -0.72388683 -44.296875 -41.475660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72331203--0.72388683) × R
    0.000574799999999986 × 6371000     		dl = 3662.05079999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72331203--0.72388683) × R
    0.000574799999999986 × 6371000     		dr = 3662.05079999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77389331--0.77312632) × cos(-0.72331203) × R
    0.000766989999999912 × 0.749617707839755 × 6371000     		do = 3663.00189942372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77389331--0.77312632) × cos(-0.72388683) × R
    0.000766989999999912 × 0.749237140543895 × 6371000     		du = 3661.14225988611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72331203)-sin(-0.72388683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749617707839755-0.749237140543895)×R²
    abs(-0.77312632--0.77389331)×0.000380567295859668×R²
    0.000766989999999912×0.000380567295859668×6371000²
    0.000766989999999912×0.000380567295859668×40589641000000     		ar = 13410694.358191m²