Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3088 / 1040
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
E 91.406250°		 ← 3 983.37 m → N 65.946472°
E 91.494141°		 →
↑
3 986.14 m
↓
↑
3 986.14 m
↓
N 65.910623°
E 91.406250°		 ← 3 988.95 m →
15 889 417 m²		 N 65.910623°
E 91.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7540283203125 y=0.2540283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7540283203125 × 212)
    floor (0.7540283203125 × 4096)
    floor (3088.5)     		tx = 3088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2540283203125 × 212)
    floor (0.2540283203125 × 4096)
    floor (1040.5)     		ty = 1040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3088 / 1040 ti = "12/3088/1040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3088/1040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3088 ÷ 212
    3088 ÷ 4096     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1040 ÷ 212
    1040 ÷ 4096     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3088 KachelY 1040 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 3089 KachelY 1040 1.59687400 1.15098306 91.494141 65.946472
    Unten links KachelX 3088 KachelY + 1 1041 1.59534002 1.15035739 91.406250 65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 3089 KachelY + 1 1041 1.59687400 1.15035739 91.494141 65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.15035739) × R
    0.000625670000000023 × 6371000     		dl = 3986.14357000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.15035739) × R
    0.000625670000000023 × 6371000     		dr = 3986.14357000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59687400) × cos(1.15098306) × R
    0.00153397999999982 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 3983.37103259542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59687400) × cos(1.15035739) × R
    0.00153397999999982 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 3988.95395058905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.40816120209893)×R²
    abs(1.59687400-1.59534002)×0.000571260171896182×R²
    0.00153397999999982×0.000571260171896182×6371000²
    0.00153397999999982×0.000571260171896182×40589641000000     		ar = 15889416.5031791m²