Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3088 / 5137
S 41.541478°
W 44.296875°
← 3 657.42 m → S 41.541478°
W 44.252930°

3 656.51 m

3 656.51 m
S 41.574361°
W 44.296875°
← 3 655.56 m →
13 369 993 m²
S 41.574361°
W 44.252930°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37701416015625 y=0.62713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37701416015625 × 213)
    floor (0.37701416015625 × 8192)
    floor (3088.5)
    tx = 3088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62713623046875 × 213)
    floor (0.62713623046875 × 8192)
    floor (5137.5)
    ty = 5137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3088 / 5137 ti = "13/3088/5137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3088/5137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3088 ÷ 213
    3088 ÷ 8192
    x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5137 ÷ 213
    5137 ÷ 8192
    y = 0.6270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535
    Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.254150390625 × 3.1415926535
    Φ = -0.798437000071655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798437000071655))-π/2
    2×atan(0.450031814390316)-π/2
    2×0.422880382691398-π/2
    0.845760765382795-1.57079632675
    φ = -0.72503556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72503556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.541478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3088 KachelY 5137 -0.77312632 -0.72503556 -44.296875 -41.541478
    Oben rechts KachelX + 1 3089 KachelY 5137 -0.77235933 -0.72503556 -44.252930 -41.541478
    Unten links KachelX 3088 KachelY + 1 5138 -0.77312632 -0.72560949 -44.296875 -41.574361
    Unten rechts KachelX + 1 3089 KachelY + 1 5138 -0.77235933 -0.72560949 -44.252930 -41.574361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.72503556--0.72560949) × R
    0.000573929999999945 × 6371000
    dl = 3656.50802999965m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.72503556--0.72560949) × R
    0.000573929999999945 × 6371000
    dr = 3656.50802999965m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77235933) × cos(-0.72503556) × R
    0.000766990000000023 × 0.748475840396585 × 6371000
    do = 3657.42217182513m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77235933) × cos(-0.72560949) × R
    0.000766990000000023 × 0.748095108544688 × 6371000
    du = 3655.56172818555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.72503556)-sin(-0.72560949))×
    abs(λ12)×abs(0.748475840396585-0.748095108544688)×
    abs(-0.77235933--0.77312632)×0.000380731851897576×
    0.000766990000000023×0.000380731851897576×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380731851897576×40589641000000
    ar = 13369992.5438253m²