Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3088 / 5168
↖ ↑ ↗
← S 42.553080°
W 44.296875°		 ← 3 599.64 m → S 42.553080°
W 44.252930°		 →
↑
3 598.72 m
↓
↑
3 598.72 m
↓
S 42.585445°
W 44.296875°		 ← 3 597.77 m →
12 950 751 m²		 S 42.585445°
W 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37701416015625 y=0.63092041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37701416015625 × 213)
    floor (0.37701416015625 × 8192)
    floor (3088.5)     		tx = 3088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63092041015625 × 213)
    floor (0.63092041015625 × 8192)
    floor (5168.5)     		ty = 5168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3088 / 5168 ti = "13/3088/5168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3088/5168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3088 ÷ 213
    3088 ÷ 8192     		x = 0.376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5168 ÷ 213
    5168 ÷ 8192     		y = 0.630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77312632} λ = -0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822213702283203))-π/2
    2×atan(0.439457748313722)-π/2
    2×0.414052484452215-π/2
    0.82810496890443-1.57079632675     		φ = -0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3088 KachelY 5168 -0.77312632 -0.74269136 -44.296875 -42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 3089 KachelY 5168 -0.77235933 -0.74269136 -44.252930 -42.553080
    Unten links KachelX 3088 KachelY + 1 5169 -0.77312632 -0.74325622 -44.296875 -42.585445
    Unten rechts KachelX + 1 3089 KachelY + 1 5169 -0.77235933 -0.74325622 -44.252930 -42.585445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74269136--0.74325622) × R
    0.00056486 × 6371000     		dl = 3598.72306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74269136--0.74325622) × R
    0.00056486 × 6371000     		dr = 3598.72306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77312632--0.77235933) × cos(-0.74269136) × R
    0.000766990000000023 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 3599.64082770966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77312632--0.77235933) × cos(-0.74325622) × R
    0.000766990000000023 × 0.736269017849973 × 6371000     		du = 3597.77361535889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74269136)-sin(-0.74325622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.736269017849973)×R²
    abs(-0.77235933--0.77312632)×0.000382117039758101×R²
    0.000766990000000023×0.000382117039758101×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382117039758101×40589641000000     		ar = 12950751.0086677m²