Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3090 / 5106
↖ ↑ ↗
← S 40.513799°
W 44.208985°		 ← 3 714.95 m → S 40.513799°
W 44.165039°		 →
↑
3 714.04 m
↓
↑
3 714.04 m
↓
S 40.547200°
W 44.208985°		 ← 3 713.10 m →
13 794 044 m²		 S 40.547200°
W 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37725830078125 y=0.62335205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37725830078125 × 213)
    floor (0.37725830078125 × 8192)
    floor (3090.5)     		tx = 3090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62335205078125 × 213)
    floor (0.62335205078125 × 8192)
    floor (5106.5)     		ty = 5106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3090 / 5106 ti = "13/3090/5106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3090/5106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3090 ÷ 213
    3090 ÷ 8192     		x = 0.377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5106 ÷ 213
    5106 ÷ 8192     		y = 0.623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.24658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.774660297860107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77159234} λ = -0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774660297860107))-π/2
    2×atan(0.46086030964428)-π/2
    2×0.431848569532256-π/2
    0.863697139064513-1.57079632675     		φ = -0.70709919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70709919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.513799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3090 KachelY 5106 -0.77159234 -0.70709919 -44.208985 -40.513799
    Oben rechts KachelX + 1 3091 KachelY 5106 -0.77082535 -0.70709919 -44.165039 -40.513799
    Unten links KachelX 3090 KachelY + 1 5107 -0.77159234 -0.70768215 -44.208985 -40.547200
    Unten rechts KachelX + 1 3091 KachelY + 1 5107 -0.77082535 -0.70768215 -44.165039 -40.547200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70709919--0.70768215) × R
    0.000582960000000021 × 6371000     		dl = 3714.03816000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70709919--0.70768215) × R
    0.000582960000000021 × 6371000     		dr = 3714.03816000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77159234--0.77082535) × cos(-0.70709919) × R
    0.000766990000000023 × 0.760249528568918 × 6371000     		do = 3714.95422007779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77159234--0.77082535) × cos(-0.70768215) × R
    0.000766990000000023 × 0.759870690422234 × 6371000     		du = 3713.10303001602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70709919)-sin(-0.70768215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760249528568918-0.759870690422234)×R²
    abs(-0.77082535--0.77159234)×0.000378838146684268×R²
    0.000766990000000023×0.000378838146684268×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378838146684268×40589641000000     		ar = 13794044.431407m²