Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3091 / 5141
↖ ↑ ↗
← S 41.672912°
W 44.165039°		 ← 3 649.98 m → S 41.672912°
W 44.121094°		 →
↑
3 649.05 m
↓
↑
3 649.05 m
↓
S 41.705729°
W 44.165039°		 ← 3 648.12 m →
13 315 574 m²		 S 41.705729°
W 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37738037109375 y=0.62762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37738037109375 × 213)
    floor (0.37738037109375 × 8192)
    floor (3091.5)     		tx = 3091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62762451171875 × 213)
    floor (0.62762451171875 × 8192)
    floor (5141.5)     		ty = 5141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3091 / 5141 ti = "13/3091/5141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3091/5141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3091 ÷ 213
    3091 ÷ 8192     		x = 0.3773193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5141 ÷ 213
    5141 ÷ 8192     		y = 0.6275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77082535} λ = -0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801504961647339))-π/2
    2×atan(0.448653249848752)-π/2
    2×0.421733403333345-π/2
    0.843466806666691-1.57079632675     		φ = -0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3091 KachelY 5141 -0.77082535 -0.72732952 -44.165039 -41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 3092 KachelY 5141 -0.77005836 -0.72732952 -44.121094 -41.672912
    Unten links KachelX 3091 KachelY + 1 5142 -0.77082535 -0.72790228 -44.165039 -41.705729
    Unten rechts KachelX + 1 3092 KachelY + 1 5142 -0.77005836 -0.72790228 -44.121094 -41.705729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72732952--0.72790228) × R
    0.000572760000000061 × 6371000     		dl = 3649.05396000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72732952--0.72790228) × R
    0.000572760000000061 × 6371000     		dr = 3649.05396000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77082535--0.77005836) × cos(-0.72732952) × R
    0.000766989999999912 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 3649.97889306508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77082535--0.77005836) × cos(-0.72790228) × R
    0.000766989999999912 × 0.746571667546648 × 6371000     		du = 3648.11744397039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72732952)-sin(-0.72790228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.746571667546648)×R²
    abs(-0.77005836--0.77082535)×0.000380937613994603×R²
    0.000766989999999912×0.000380937613994603×6371000²
    0.000766989999999912×0.000380937613994603×40589641000000     		ar = 13315574.0335804m²