Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3092 / 1044
↖ ↑ ↗
← N 65.802777°
E 91.757812°		 ← 4 005.74 m → N 65.802777°
E 91.845703°		 →
↑
4 008.57 m
↓
↑
4 008.57 m
↓
N 65.766727°
E 91.757812°		 ← 4 011.35 m →
16 068 529 m²		 N 65.766727°
E 91.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7550048828125 y=0.2550048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7550048828125 × 212)
    floor (0.7550048828125 × 4096)
    floor (3092.5)     		tx = 3092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2550048828125 × 212)
    floor (0.2550048828125 × 4096)
    floor (1044.5)     		ty = 1044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3092 / 1044 ti = "12/3092/1044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3092/1044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3092 ÷ 212
    3092 ÷ 4096     		x = 0.7548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1044 ÷ 212
    1044 ÷ 4096     		y = 0.2548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60147594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2548828125 × 2 - 1) × π
    0.490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.54011671099316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60147594} λ = 1.60147594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54011671099316))-π/2
    2×atan(4.66513471172185)-π/2
    2×1.35963571589766-π/2
    2.71927143179533-1.57079632675     		φ = 1.14847511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60147594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.757812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14847511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.802777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3092 KachelY 1044 1.60147594 1.14847511 91.757812 65.802777
    Oben rechts KachelX + 1 3093 KachelY 1044 1.60300992 1.14847511 91.845703 65.802777
    Unten links KachelX 3092 KachelY + 1 1045 1.60147594 1.14784592 91.757812 65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 3093 KachelY + 1 1045 1.60300992 1.14784592 91.845703 65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14847511-1.14784592) × R
    0.000629189999999946 × 6371000     		dl = 4008.56948999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14847511-1.14784592) × R
    0.000629189999999946 × 6371000     		dr = 4008.56948999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60147594-1.60300992) × cos(1.14847511) × R
    0.00153398000000005 × 0.409878830023918 × 6371000     		do = 4005.74030524997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60147594-1.60300992) × cos(1.14784592) × R
    0.00153398000000005 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 4011.34832040385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14847511)-sin(1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409878830023918-0.410452658209189)×R²
    abs(1.60300992-1.60147594)×0.000573828185271463×R²
    0.00153398000000005×0.000573828185271463×6371000²
    0.00153398000000005×0.000573828185271463×40589641000000     		ar = 16068528.9618129m²