Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3096 / 1032
↖ ↑ ↗
← N 66.231457°
E 92.109375°		 ← 3 938.93 m → N 66.231457°
E 92.197266°		 →
↑
3 941.67 m
↓
↑
3 941.67 m
↓
N 66.196009°
E 92.109375°		 ← 3 944.47 m →
15 536 894 m²		 N 66.196009°
E 92.197266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7559814453125 y=0.2520751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7559814453125 × 212)
    floor (0.7559814453125 × 4096)
    floor (3096.5)     		tx = 3096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2520751953125 × 212)
    floor (0.2520751953125 × 4096)
    floor (1032.5)     		ty = 1032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3096 / 1032 ti = "12/3096/1032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3096/1032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3096 ÷ 212
    3096 ÷ 4096     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1032 ÷ 212
    1032 ÷ 4096     		y = 0.251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251953125 × 2 - 1) × π
    0.49609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.55852448044727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.55852448044727))-π/2
    2×atan(4.75180468914848)-π/2
    2×1.36337666408679-π/2
    2.72675332817358-1.57079632675     		φ = 1.15595700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15595700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.231457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3096 KachelY 1032 1.60761187 1.15595700 92.109375 66.231457
    Oben rechts KachelX + 1 3097 KachelY 1032 1.60914585 1.15595700 92.197266 66.231457
    Unten links KachelX 3096 KachelY + 1 1033 1.60761187 1.15533831 92.109375 66.196009
    Unten rechts KachelX + 1 3097 KachelY + 1 1033 1.60914585 1.15533831 92.197266 66.196009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15595700-1.15533831) × R
    0.000618689999999811 × 6371000     		dl = 3941.67398999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15595700-1.15533831) × R
    0.000618689999999811 × 6371000     		dr = 3941.67398999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.60914585) × cos(1.15595700) × R
    0.00153398000000005 × 0.403042890509652 × 6371000     		do = 3938.93276011535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.60914585) × cos(1.15533831) × R
    0.00153398000000005 × 0.403609026724576 × 6371000     		du = 3944.46560174626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15595700)-sin(1.15533831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403042890509652-0.403609026724576)×R²
    abs(1.60914585-1.60761187)×0.000566136214923851×R²
    0.00153398000000005×0.000566136214923851×6371000²
    0.00153398000000005×0.000566136214923851×40589641000000     		ar = 15536893.6334757m²