Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3097 / 5113
↖ ↑ ↗
← S 40.747257°
W 43.901367°		 ← 3 701.99 m → S 40.747257°
W 43.857422°		 →
↑
3 701.04 m
↓
↑
3 701.04 m
↓
S 40.780542°
W 43.901367°		 ← 3 700.14 m →
13 697 784 m²		 S 40.780542°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37811279296875 y=0.62420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37811279296875 × 213)
    floor (0.37811279296875 × 8192)
    floor (3097.5)     		tx = 3097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62420654296875 × 213)
    floor (0.62420654296875 × 8192)
    floor (5113.5)     		ty = 5113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3097 / 5113 ti = "13/3097/5113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3097/5113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3097 ÷ 213
    3097 ÷ 8192     		x = 0.3780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5113 ÷ 213
    5113 ÷ 8192     		y = 0.6241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.780029230617554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76622340} λ = -0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780029230617554))-π/2
    2×atan(0.458392612010259)-π/2
    2×0.429811265827335-π/2
    0.859622531654669-1.57079632675     		φ = -0.71117380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71117380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.747257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3097 KachelY 5113 -0.76622340 -0.71117380 -43.901367 -40.747257
    Oben rechts KachelX + 1 3098 KachelY 5113 -0.76545641 -0.71117380 -43.857422 -40.747257
    Unten links KachelX 3097 KachelY + 1 5114 -0.76622340 -0.71175472 -43.901367 -40.780542
    Unten rechts KachelX + 1 3098 KachelY + 1 5114 -0.76545641 -0.71175472 -43.857422 -40.780542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71117380--0.71175472) × R
    0.000580919999999985 × 6371000     		dl = 3701.0413199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71117380--0.71175472) × R
    0.000580919999999985 × 6371000     		dr = 3701.0413199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76622340--0.76545641) × cos(-0.71117380) × R
    0.000766990000000023 × 0.757596231247903 × 6371000     		do = 3701.98890052228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76622340--0.76545641) × cos(-0.71175472) × R
    0.000766990000000023 × 0.757216923308942 × 6371000     		du = 3700.1354148237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71117380)-sin(-0.71175472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757596231247903-0.757216923308942)×R²
    abs(-0.76545641--0.76622340)×0.000379307938960904×R²
    0.000766990000000023×0.000379307938960904×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379307938960904×40589641000000     		ar = 13697784.3586487m²