Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30976 / 14592
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
E160.312500°		 ← 1 152.85 m → N 19.311143°
E160.323486°		 →
↑
1 152.90 m
↓
↑
1 152.90 m
↓
N 19.300775°
E160.312500°		 ← 1 152.92 m →
1 329 153 m²		 N 19.300775°
E160.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945327758789062 y=0.445327758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945327758789062 × 215)
    floor (0.945327758789062 × 32768)
    floor (30976.5)     		tx = 30976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445327758789062 × 215)
    floor (0.445327758789062 × 32768)
    floor (14592.5)     		ty = 14592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30976 / 14592 ti = "15/30976/14592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30976/14592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30976 ÷ 215
    30976 ÷ 32768     		x = 0.9453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14592 ÷ 215
    14592 ÷ 32768     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9453125 × 2 - 1) × π
    0.890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79798096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79798096} λ = 2.79798096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79798096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30976 KachelY 14592 2.79798096 0.33704303 160.312500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 30977 KachelY 14592 2.79817270 0.33704303 160.323486 19.311143
    Unten links KachelX 30976 KachelY + 1 14593 2.79798096 0.33686207 160.312500 19.300775
    Unten rechts KachelX + 1 30977 KachelY + 1 14593 2.79817270 0.33686207 160.323486 19.300775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33686207) × R
    0.000180960000000008 × 6371000     		dl = 1152.89616000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33686207) × R
    0.000180960000000008 × 6371000     		dr = 1152.89616000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79798096-2.79817270) × cos(0.33704303) × R
    0.000191739999999996 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 1152.84561254772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79798096-2.79817270) × cos(0.33686207) × R
    0.000191739999999996 × 0.943796481499599 × 6371000     		du = 1152.91869653795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33686207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.943796481499599)×R²
    abs(2.79817270-2.79798096)×5.98276470286097e-05×R²
    0.000191739999999996×5.98276470286097e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.98276470286097e-05×40589641000000     		ar = 1329153.4125319m²