Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3098 / 5146
↖ ↑ ↗
← S 41.836828°
W 43.857422°		 ← 3 640.67 m → S 41.836828°
W 43.813476°		 →
↑
3 639.75 m
↓
↑
3 639.75 m
↓
S 41.869561°
W 43.857422°		 ← 3 638.81 m →
13 247 745 m²		 S 41.869561°
W 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37823486328125 y=0.62823486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37823486328125 × 213)
    floor (0.37823486328125 × 8192)
    floor (3098.5)     		tx = 3098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62823486328125 × 213)
    floor (0.62823486328125 × 8192)
    floor (5146.5)     		ty = 5146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3098 / 5146 ti = "13/3098/5146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3098/5146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3098 ÷ 213
    3098 ÷ 8192     		x = 0.378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5146 ÷ 213
    5146 ÷ 8192     		y = 0.628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76545641} λ = -0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805339913616943))-π/2
    2×atan(0.446935981110774)-π/2
    2×0.420302966026131-π/2
    0.840605932052262-1.57079632675     		φ = -0.73019039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73019039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.836828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3098 KachelY 5146 -0.76545641 -0.73019039 -43.857422 -41.836828
    Oben rechts KachelX + 1 3099 KachelY 5146 -0.76468942 -0.73019039 -43.813476 -41.836828
    Unten links KachelX 3098 KachelY + 1 5147 -0.76545641 -0.73076169 -43.857422 -41.869561
    Unten rechts KachelX + 1 3099 KachelY + 1 5147 -0.76468942 -0.73076169 -43.813476 -41.869561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73019039--0.73076169) × R
    0.000571300000000052 × 6371000     		dl = 3639.75230000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73019039--0.73076169) × R
    0.000571300000000052 × 6371000     		dr = 3639.75230000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76545641--0.76468942) × cos(-0.73019039) × R
    0.000766990000000023 × 0.745047423530157 × 6371000     		do = 3640.66923581201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76545641--0.76468942) × cos(-0.73076169) × R
    0.000766990000000023 × 0.744666238297177 × 6371000     		du = 3638.80657672881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73019039)-sin(-0.73076169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745047423530157-0.744666238297177)×R²
    abs(-0.76468942--0.76545641)×0.000381185232979586×R²
    0.000766990000000023×0.000381185232979586×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381185232979586×40589641000000     		ar = 13247744.7760647m²