Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3104 / 3040
↖ ↑ ↗
← S 65.366837°
E 92.812500°		 ← 4 073.45 m → S 65.366837°
E 92.900390°		 →
↑
4 070.56 m
↓
↑
4 070.56 m
↓
S 65.403445°
E 92.812500°		 ← 4 067.77 m →
16 569 663 m²		 S 65.403445°
E 92.900390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7579345703125 y=0.7423095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7579345703125 × 212)
    floor (0.7579345703125 × 4096)
    floor (3104.5)     		tx = 3104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7423095703125 × 212)
    floor (0.7423095703125 × 4096)
    floor (3040.5)     		ty = 3040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3104 / 3040 ti = "12/3104/3040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3104/3040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3104 ÷ 212
    3104 ÷ 4096     		x = 0.7578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3040 ÷ 212
    3040 ÷ 4096     		y = 0.7421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7578125 × 2 - 1) × π
    0.515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7421875 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52170894153906
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61988371} λ = 1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52170894153906))-π/2
    2×atan(0.218338440313639)-π/2
    2×0.214964900714467-π/2
    0.429929801428934-1.57079632675     		φ = -1.14086653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14086653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.366837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3104 KachelY 3040 1.61988371 -1.14086653 92.812500 -65.366837
    Oben rechts KachelX + 1 3105 KachelY 3040 1.62141769 -1.14086653 92.900390 -65.366837
    Unten links KachelX 3104 KachelY + 1 3041 1.61988371 -1.14150545 92.812500 -65.403445
    Unten rechts KachelX + 1 3105 KachelY + 1 3041 1.62141769 -1.14150545 92.900390 -65.403445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14086653--1.14150545) × R
    0.000638919999999876 × 6371000     		dl = 4070.55931999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14086653--1.14150545) × R
    0.000638919999999876 × 6371000     		dr = 4070.55931999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61988371-1.62141769) × cos(-1.14086653) × R
    0.00153397999999982 × 0.416806989093035 × 6371000     		do = 4073.44911085597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61988371-1.62141769) × cos(-1.14150545) × R
    0.00153397999999982 × 0.416226128964564 × 6371000     		du = 4067.77237261556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14086653)-sin(-1.14150545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416806989093035-0.416226128964564)×R²
    abs(1.62141769-1.61988371)×0.000580860128471306×R²
    0.00153397999999982×0.000580860128471306×6371000²
    0.00153397999999982×0.000580860128471306×40589641000000     		ar = 16569663.0565334m²