Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3104 / 5088
↖ ↑ ↗
← S 39.909736°
W 43.593750°		 ← 3 748.21 m → S 39.909736°
W 43.549805°		 →
↑
3 747.29 m
↓
↑
3 747.29 m
↓
S 39.943436°
W 43.593750°		 ← 3 746.37 m →
14 042 210 m²		 S 39.943436°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37896728515625 y=0.62115478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37896728515625 × 213)
    floor (0.37896728515625 × 8192)
    floor (3104.5)     		tx = 3104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62115478515625 × 213)
    floor (0.62115478515625 × 8192)
    floor (5088.5)     		ty = 5088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3104 / 5088 ti = "13/3104/5088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3104/5088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3104 ÷ 213
    3104 ÷ 8192     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5088 ÷ 213
    5088 ÷ 8192     		y = 0.62109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62109375 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760854470769531))-π/2
    2×atan(0.467266990395897)-π/2
    2×0.43712001295821-π/2
    0.87424002591642-1.57079632675     		φ = -0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3104 KachelY 5088 -0.76085447 -0.69655630 -43.593750 -39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 3105 KachelY 5088 -0.76008748 -0.69655630 -43.549805 -39.909736
    Unten links KachelX 3104 KachelY + 1 5089 -0.76085447 -0.69714448 -43.593750 -39.943436
    Unten rechts KachelX + 1 3105 KachelY + 1 5089 -0.76008748 -0.69714448 -43.549805 -39.943436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69655630--0.69714448) × R
    0.000588179999999938 × 6371000     		dl = 3747.29477999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69655630--0.69714448) × R
    0.000588179999999938 × 6371000     		dr = 3747.29477999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-0.69655630) × R
    0.000766989999999912 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 3748.21468211689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-0.69714448) × R
    0.000766989999999912 × 0.766678643017404 × 6371000     		du = 3746.37004469042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69655630)-sin(-0.69714448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.766678643017404)×R²
    abs(-0.76008748--0.76085447)×0.000377497177833197×R²
    0.000766989999999912×0.000377497177833197×6371000²
    0.000766989999999912×0.000377497177833197×40589641000000     		ar = 14042209.5173469m²