Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3104 / 5151
↖ ↑ ↗
← S 42.000325°
W 43.593750°		 ← 3 631.35 m → S 42.000325°
W 43.549805°		 →
↑
3 630.45 m
↓
↑
3 630.45 m
↓
S 42.032975°
W 43.593750°		 ← 3 629.49 m →
13 180 067 m²		 S 42.032975°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37896728515625 y=0.62884521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37896728515625 × 213)
    floor (0.37896728515625 × 8192)
    floor (3104.5)     		tx = 3104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62884521484375 × 213)
    floor (0.62884521484375 × 8192)
    floor (5151.5)     		ty = 5151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3104 / 5151 ti = "13/3104/5151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3104/5151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3104 ÷ 213
    3104 ÷ 8192     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5151 ÷ 213
    5151 ÷ 8192     		y = 0.6287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.257568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.809174865586548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809174865586548))-π/2
    2×atan(0.44522528540424)-π/2
    2×0.418876183032895-π/2
    0.83775236606579-1.57079632675     		φ = -0.73304396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73304396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.000325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3104 KachelY 5151 -0.76085447 -0.73304396 -43.593750 -42.000325
    Oben rechts KachelX + 1 3105 KachelY 5151 -0.76008748 -0.73304396 -43.549805 -42.000325
    Unten links KachelX 3104 KachelY + 1 5152 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 3105 KachelY + 1 5152 -0.76008748 -0.73361380 -43.549805 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73304396--0.73361380) × R
    0.000569839999999933 × 6371000     		dl = 3630.45063999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73304396--0.73361380) × R
    0.000569839999999933 × 6371000     		dr = 3630.45063999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-0.73304396) × R
    0.000766989999999912 × 0.743141028709716 × 6371000     		do = 3631.35365031331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-0.73361380) × R
    0.000766989999999912 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 3629.48984197841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73304396)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743141028709716-0.74275960828728)×R²
    abs(-0.76008748--0.76085447)×0.000381420422435719×R²
    0.000766989999999912×0.000381420422435719×6371000²
    0.000766989999999912×0.000381420422435719×40589641000000     		ar = 13180067.3084132m²