Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3104 / 5152
↖ ↑ ↗
← S 42.032975°
W 43.593750°		 ← 3 629.49 m → S 42.032975°
W 43.549805°		 →
↑
3 628.54 m
↓
↑
3 628.54 m
↓
S 42.065607°
W 43.593750°		 ← 3 627.63 m →
13 166 365 m²		 S 42.065607°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37896728515625 y=0.62896728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37896728515625 × 213)
    floor (0.37896728515625 × 8192)
    floor (3104.5)     		tx = 3104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62896728515625 × 213)
    floor (0.62896728515625 × 8192)
    floor (5152.5)     		ty = 5152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3104 / 5152 ti = "13/3104/5152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3104/5152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3104 ÷ 213
    3104 ÷ 8192     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5152 ÷ 213
    5152 ÷ 8192     		y = 0.62890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62890625 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809941855980469))-π/2
    2×atan(0.444883932811019)-π/2
    2×0.418591265152362-π/2
    0.837182530304723-1.57079632675     		φ = -0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3104 KachelY 5152 -0.76085447 -0.73361380 -43.593750 -42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 3105 KachelY 5152 -0.76008748 -0.73361380 -43.549805 -42.032975
    Unten links KachelX 3104 KachelY + 1 5153 -0.76085447 -0.73418334 -43.593750 -42.065607
    Unten rechts KachelX + 1 3105 KachelY + 1 5153 -0.76008748 -0.73418334 -43.549805 -42.065607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73361380--0.73418334) × R
    0.00056953999999998 × 6371000     		dl = 3628.53933999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73361380--0.73418334) × R
    0.00056953999999998 × 6371000     		dr = 3628.53933999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-0.73361380) × R
    0.000766989999999912 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 3629.48984197841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-0.73418334) × R
    0.000766989999999912 × 0.742378147672081 × 6371000     		du = 3627.62583724184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73361380)-sin(-0.73418334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.742378147672081)×R²
    abs(-0.76008748--0.76085447)×0.000381460615199614×R²
    0.000766989999999912×0.000381460615199614×6371000²
    0.000766989999999912×0.000381460615199614×40589641000000     		ar = 13166365.2243956m²