Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3104 / 7264
↖ ↑ ↗
← S 79.935918°
W 43.593750°		 ← 853.91 m → S 79.935918°
W 43.549805°		 →
↑
853.59 m
↓
↑
853.59 m
↓
S 79.943595°
W 43.593750°		 ← 853.27 m →
728 613 m²		 S 79.943595°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37896728515625 y=0.88677978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37896728515625 × 213)
    floor (0.37896728515625 × 8192)
    floor (3104.5)     		tx = 3104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88677978515625 × 213)
    floor (0.88677978515625 × 8192)
    floor (7264.5)     		ty = 7264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3104 / 7264 ti = "13/3104/7264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3104/7264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3104 ÷ 213
    3104 ÷ 8192     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7264 ÷ 213
    7264 ÷ 8192     		y = 0.88671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88671875 × 2 - 1) × π
    -0.7734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.42982556794141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.42982556794141))-π/2
    2×atan(0.0880521903677181)-π/2
    2×0.0878256814024389-π/2
    0.175651362804878-1.57079632675     		φ = -1.39514496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39514496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.935918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3104 KachelY 7264 -0.76085447 -1.39514496 -43.593750 -79.935918
    Oben rechts KachelX + 1 3105 KachelY 7264 -0.76008748 -1.39514496 -43.549805 -79.935918
    Unten links KachelX 3104 KachelY + 1 7265 -0.76085447 -1.39527894 -43.593750 -79.943595
    Unten rechts KachelX + 1 3105 KachelY + 1 7265 -0.76008748 -1.39527894 -43.549805 -79.943595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39514496--1.39527894) × R
    0.000133979999999978 × 6371000     		dl = 853.58657999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39514496--1.39527894) × R
    0.000133979999999978 × 6371000     		dr = 853.58657999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-1.39514496) × R
    0.000766989999999912 × 0.174749518782549 × 6371000     		do = 853.912350961558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.76008748) × cos(-1.39527894) × R
    0.000766989999999912 × 0.174617598775255 × 6371000     		du = 853.267724731095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39514496)-sin(-1.39527894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174749518782549-0.174617598775255)×R²
    abs(-0.76008748--0.76085447)×0.000131920007294811×R²
    0.000766989999999912×0.000131920007294811×6371000²
    0.000766989999999912×0.000131920007294811×40589641000000     		ar = 728613.002216979m²