Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3105 / 3103
↖ ↑ ↗
← S 67.575717°
E 92.900390°		 ← 3 728.02 m → S 67.575717°
E 92.988281°		 →
↑
3 725.38 m
↓
↑
3 725.38 m
↓
S 67.609220°
E 92.900390°		 ← 3 722.74 m →
13 878 463 m²		 S 67.609220°
E 92.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7581787109375 y=0.7576904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7581787109375 × 212)
    floor (0.7581787109375 × 4096)
    floor (3105.5)     		tx = 3105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7576904296875 × 212)
    floor (0.7576904296875 × 4096)
    floor (3103.5)     		ty = 3103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3105 / 3103 ti = "12/3105/3103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3105/3103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3105 ÷ 212
    3105 ÷ 4096     		x = 0.758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3103 ÷ 212
    3103 ÷ 4096     		y = 0.757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62141769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.51513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62141769} λ = 1.62141769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6183497311731))-π/2
    2×atan(0.198225554763287)-π/2
    2×0.195688781743604-π/2
    0.391377563487207-1.57079632675     		φ = -1.17941876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62141769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.900390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17941876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.575717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3105 KachelY 3103 1.62141769 -1.17941876 92.900390 -67.575717
    Oben rechts KachelX + 1 3106 KachelY 3103 1.62295167 -1.17941876 92.988281 -67.575717
    Unten links KachelX 3105 KachelY + 1 3104 1.62141769 -1.18000350 92.900390 -67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 3106 KachelY + 1 3104 1.62295167 -1.18000350 92.988281 -67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17941876--1.18000350) × R
    0.000584740000000084 × 6371000     		dl = 3725.37854000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17941876--1.18000350) × R
    0.000584740000000084 × 6371000     		dr = 3725.37854000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62141769-1.62295167) × cos(-1.17941876) × R
    0.00153398000000005 × 0.381462177989466 × 6371000     		do = 3728.02474626874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62141769-1.62295167) × cos(-1.18000350) × R
    0.00153398000000005 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 3722.74156993617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17941876)-sin(-1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381462177989466-0.380921588243505)×R²
    abs(1.62295167-1.62141769)×0.000540589745960884×R²
    0.00153398000000005×0.000540589745960884×6371000²
    0.00153398000000005×0.000540589745960884×40589641000000     		ar = 13878462.8659218m²