Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3105 / 5150
↖ ↑ ↗
← S 41.967659°
W 43.549805°		 ← 3 633.22 m → S 41.967659°
W 43.505859°		 →
↑
3 632.30 m
↓
↑
3 632.30 m
↓
S 42.000325°
W 43.549805°		 ← 3 631.35 m →
13 193 544 m²		 S 42.000325°
W 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37908935546875 y=0.62872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37908935546875 × 213)
    floor (0.37908935546875 × 8192)
    floor (3105.5)     		tx = 3105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62872314453125 × 213)
    floor (0.62872314453125 × 8192)
    floor (5150.5)     		ty = 5150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3105 / 5150 ti = "13/3105/5150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3105/5150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3105 ÷ 213
    3105 ÷ 8192     		x = 0.3790283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5150 ÷ 213
    5150 ÷ 8192     		y = 0.628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808407875192627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76008748} λ = -0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808407875192627))-π/2
    2×atan(0.445566899912052)-π/2
    2×0.419161247176495-π/2
    0.838322494352991-1.57079632675     		φ = -0.73247383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73247383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.967659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3105 KachelY 5150 -0.76008748 -0.73247383 -43.549805 -41.967659
    Oben rechts KachelX + 1 3106 KachelY 5150 -0.75932049 -0.73247383 -43.505859 -41.967659
    Unten links KachelX 3105 KachelY + 1 5151 -0.76008748 -0.73304396 -43.549805 -42.000325
    Unten rechts KachelX + 1 3106 KachelY + 1 5151 -0.75932049 -0.73304396 -43.505859 -42.000325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73247383--0.73304396) × R
    0.000570130000000058 × 6371000     		dl = 3632.29823000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73247383--0.73304396) × R
    0.000570130000000058 × 6371000     		dr = 3632.29823000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76008748--0.75932049) × cos(-0.73247383) × R
    0.000766990000000023 × 0.743522401747397 × 6371000     		do = 3633.21722710345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76008748--0.75932049) × cos(-0.73304396) × R
    0.000766990000000023 × 0.743141028709716 × 6371000     		du = 3631.35365031383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73247383)-sin(-0.73304396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743522401747397-0.743141028709716)×R²
    abs(-0.75932049--0.76008748)×0.000381373037681154×R²
    0.000766990000000023×0.000381373037681154×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381373037681154×40589641000000     		ar = 13193544.3272554m²