Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3106 / 1058
↖ ↑ ↗
← N 65.293468°
E 92.988281°		 ← 4 084.82 m → N 65.293468°
E 93.076172°		 →
↑
4 087.63 m
↓
↑
4 087.63 m
↓
N 65.256707°
E 92.988281°		 ← 4 090.52 m →
16 708 895 m²		 N 65.256707°
E 93.076172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7584228515625 y=0.2584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7584228515625 × 212)
    floor (0.7584228515625 × 4096)
    floor (3106.5)     		tx = 3106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2584228515625 × 212)
    floor (0.2584228515625 × 4096)
    floor (1058.5)     		ty = 1058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3106 / 1058 ti = "12/3106/1058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3106/1058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3106 ÷ 212
    3106 ÷ 4096     		x = 0.75830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1058 ÷ 212
    1058 ÷ 4096     		y = 0.25830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.62295167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25830078125 × 2 - 1) × π
    0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62295167} λ = 1.62295167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51864097996338))-π/2
    2×atan(4.56601566988036)-π/2
    2×1.35519115997521-π/2
    2.71038231995043-1.57079632675     		φ = 1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62295167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3106 KachelY 1058 1.62295167 1.13958599 92.988281 65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 3107 KachelY 1058 1.62448565 1.13958599 93.076172 65.293468
    Unten links KachelX 3106 KachelY + 1 1059 1.62295167 1.13894439 92.988281 65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 3107 KachelY + 1 1059 1.62448565 1.13894439 93.076172 65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13958599-1.13894439) × R
    0.00064160000000002 × 6371000     		dl = 4087.63360000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13958599-1.13894439) × R
    0.00064160000000002 × 6371000     		dr = 4087.63360000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62295167-1.62448565) × cos(1.13958599) × R
    0.00153398000000005 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 4084.82156806658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62295167-1.62448565) × cos(1.13894439) × R
    0.00153398000000005 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 4090.51709075565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13958599)-sin(1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.418553433719698)×R²
    abs(1.62448565-1.62295167)×0.000582782207101784×R²
    0.00153398000000005×0.000582782207101784×6371000²
    0.00153398000000005×0.000582782207101784×40589641000000     		ar = 16708895.0697786m²