Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3106 / 7202
↖ ↑ ↗
← S 79.448478°
W 43.505859°		 ← 894.81 m → S 79.448478°
W 43.461914°		 →
↑
894.42 m
↓
↑
894.42 m
↓
S 79.456521°
W 43.505859°		 ← 894.14 m →
800 041 m²		 S 79.456521°
W 43.461914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37921142578125 y=0.87921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37921142578125 × 213)
    floor (0.37921142578125 × 8192)
    floor (3106.5)     		tx = 3106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87921142578125 × 213)
    floor (0.87921142578125 × 8192)
    floor (7202.5)     		ty = 7202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3106 / 7202 ti = "13/3106/7202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3106/7202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3106 ÷ 213
    3106 ÷ 8192     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7202 ÷ 213
    7202 ÷ 8192     		y = 0.879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.75830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38227216351831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38227216351831))-π/2
    2×atan(0.0923405261903686)-π/2
    2×0.09207940524392-π/2
    0.18415881048784-1.57079632675     		φ = -1.38663752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38663752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.448478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3106 KachelY 7202 -0.75932049 -1.38663752 -43.505859 -79.448478
    Oben rechts KachelX + 1 3107 KachelY 7202 -0.75855350 -1.38663752 -43.461914 -79.448478
    Unten links KachelX 3106 KachelY + 1 7203 -0.75932049 -1.38677791 -43.505859 -79.456521
    Unten rechts KachelX + 1 3107 KachelY + 1 7203 -0.75855350 -1.38677791 -43.461914 -79.456521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38663752--1.38677791) × R
    0.000140389999999879 × 6371000     		dl = 894.424689999231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38663752--1.38677791) × R
    0.000140389999999879 × 6371000     		dr = 894.424689999231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75855350) × cos(-1.38663752) × R
    0.000766990000000023 × 0.183119629249642 × 6371000     		do = 894.812839595688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75855350) × cos(-1.38677791) × R
    0.000766990000000023 × 0.182981611350923 × 6371000     		du = 894.1384160597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38663752)-sin(-1.38677791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183119629249642-0.182981611350923)×R²
    abs(-0.75855350--0.75932049)×0.00013801789871859×R²
    0.000766990000000023×0.00013801789871859×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013801789871859×40589641000000     		ar = 800041.08744577m²