Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3108 / 1060
↖ ↑ ↗
← N 65.219894°
E 93.164063°		 ← 4 096.22 m → N 65.219894°
E 93.251953°		 →
↑
4 099.10 m
↓
↑
4 099.10 m
↓
N 65.183030°
E 93.164063°		 ← 4 101.93 m →
16 802 516 m²		 N 65.183030°
E 93.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7589111328125 y=0.2589111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7589111328125 × 212)
    floor (0.7589111328125 × 4096)
    floor (3108.5)     		tx = 3108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2589111328125 × 212)
    floor (0.2589111328125 × 4096)
    floor (1060.5)     		ty = 1060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3108 / 1060 ti = "12/3108/1060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3108/1060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3108 ÷ 212
    3108 ÷ 4096     		x = 0.7587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1060 ÷ 212
    1060 ÷ 4096     		y = 0.2587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7587890625 × 2 - 1) × π
    0.517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62601964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2587890625 × 2 - 1) × π
    0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62601964} λ = 1.62601964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5155730183877))-π/2
    2×atan(4.55202877584876)-π/2
    2×1.35454910688186-π/2
    2.70909821376373-1.57079632675     		φ = 1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62601964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3108 KachelY 1060 1.62601964 1.13830189 93.164063 65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 3109 KachelY 1060 1.62755362 1.13830189 93.251953 65.219894
    Unten links KachelX 3108 KachelY + 1 1061 1.62601964 1.13765849 93.164063 65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 3109 KachelY + 1 1061 1.62755362 1.13765849 93.251953 65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13830189-1.13765849) × R
    0.000643399999999961 × 6371000     		dl = 4099.10139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13830189-1.13765849) × R
    0.000643399999999961 × 6371000     		dr = 4099.10139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62601964-1.62755362) × cos(1.13830189) × R
    0.00153398000000005 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 4096.21891539072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62601964-1.62755362) × cos(1.13765849) × R
    0.00153398000000005 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 4101.92703251707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13830189)-sin(1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.419720931666003)×R²
    abs(1.62755362-1.62601964)×0.000584070906024747×R²
    0.00153398000000005×0.000584070906024747×6371000²
    0.00153398000000005×0.000584070906024747×40589641000000     		ar = 16802516.3458695m²