Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3108 / 5220
↖ ↑ ↗
← S 44.213710°
W 43.417969°		 ← 3 502.36 m → S 44.213710°
W 43.374024°		 →
↑
3 501.44 m
↓
↑
3 501.44 m
↓
S 44.245199°
W 43.417969°		 ← 3 500.49 m →
12 260 029 m²		 S 44.245199°
W 43.374024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37945556640625 y=0.63726806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37945556640625 × 213)
    floor (0.37945556640625 × 8192)
    floor (3108.5)     		tx = 3108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63726806640625 × 213)
    floor (0.63726806640625 × 8192)
    floor (5220.5)     		ty = 5220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3108 / 5220 ti = "13/3108/5220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3108/5220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3108 ÷ 213
    3108 ÷ 8192     		x = 0.37939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5220 ÷ 213
    5220 ÷ 8192     		y = 0.63720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    -0.2412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75778651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63720703125 × 2 - 1) × π
    -0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75778651} λ = -0.75778651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86209720276709))-π/2
    2×atan(0.422275555565894)-π/2
    2×0.399560757183306-π/2
    0.799121514366612-1.57079632675     		φ = -0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75778651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.417969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3108 KachelY 5220 -0.75778651 -0.77167481 -43.417969 -44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 3109 KachelY 5220 -0.75701952 -0.77167481 -43.374024 -44.213710
    Unten links KachelX 3108 KachelY + 1 5221 -0.75778651 -0.77222440 -43.417969 -44.245199
    Unten rechts KachelX + 1 3109 KachelY + 1 5221 -0.75701952 -0.77222440 -43.374024 -44.245199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77167481--0.77222440) × R
    0.000549589999999989 × 6371000     		dl = 3501.43788999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77167481--0.77222440) × R
    0.000549589999999989 × 6371000     		dr = 3501.43788999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75778651--0.75701952) × cos(-0.77167481) × R
    0.000766990000000023 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 3502.36361802246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75778651--0.75701952) × cos(-0.77222440) × R
    0.000766990000000023 × 0.716360411568871 × 6371000     		du = 3500.49034435303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77167481)-sin(-0.77222440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.716360411568871)×R²
    abs(-0.75701952--0.75778651)×0.000383357462756639×R²
    0.000766990000000023×0.000383357462756639×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383357462756639×40589641000000     		ar = 12260029.4095923m²